Цель урока: проверка умений и навыковисследования функций и построения графиков с помощью производной.

Теоретическая часть зачета.

Вопросы Определение точки минимума и точки максимума.

Определение критической точки.

Необходимое условие, чтобы точка х 0 была точкой экстремума.

Алгоритм нахождения критических точек функции.

Определение стационарных точек.

Теорема Ферма (необходимое условие экстремума функции).

Достаточные условия существования экстремума функции.

Достаточный признак возрастания, убывания функции.

Точки экстремума,экстремум функции.

Алгоритм нахождения экстремумов функции.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Теоретическая часть зачета

1) Определение точки минимума.

Если функция определена в некоторой окрестности точки Х 0 , то точка Х 0 называется точкой минимума функции f(х), если существует такая окрестность точки Х 0 ,что для всех хх 0 из этой окрестности выполняется неравенство f(х)>f(х 0).

Определение точки максимума.

Если функция определена в некоторой окрестности точки Х 0 , то точка Х 0 называется точкой максимума функции f(х),если существует такая окрестность точки Х 0 , что для всех х?х 0 из этой окрестности выполняется неравенство f(х)

2) Определение критических точек.

Критические точки – это внутренние точки области определения функции в которых производная не существует или равна нулю.

3) Необходимое условие, чтобы Х 0 была точкой экстремума : эта точка должна быть критической.

4) Алгоритм нахождения критических точек.

1. Найти область определения функции.

2. Найти производную функции.

3. Найти область определения производной данной функции.(Чтобы определить есть ли точки в которых производная не существует. Если такие точки есть, то проверить являются ли они внутренними точками области определения функции.

4. Найти точки, в которых производная равна нулю, решив уравнение: f "(х)=0.

Проверить являются ли найденные точки внутренними точками области определения функции.

5) Стационарные точки - точки, в которых производная функции равна нулю.

6) Теорема Ферма. (Необходимое условие экстремума функции.)

у=f(х)-функция, которая определена в некоторой окрестности точки Х 0 , и имеет производную в этой точке.

Теорема: если Х 0 -точка экстремума дифференцируемой функции f(х), то f "(х)=0.

7) Достаточные условия существования экстремума функции в точке.

y=f(х) определена на (а;в). Х 0 -критическая точка.

Если функция f непрерывна в точке Х 0 , а f "(х)>0 на интервале (а;х 0) и f "(х)<0 на интервале (х 0 ;в), то точка х 0 является точкой максимума функции f .

(Упрощенная формулировка: если в точке Х 0 производная меняет знак с “+” на “ _ ”, то Х 0 есть точка максимума .)

Если функция f непрерывна в точке Х 0 , а f "(х)<0 на интервале (а;X 0) и f "(х)>0 на интервале (X 0 ;в), то точка х 0 является точкой минимума функции f.

(Упрощенная формулировка: если в точке Х 0 производная меняет знак с “ _ ” на “+”, то Х 0 есть точка минимума .)

8) Достаточный признак возрастания, убывания функции .

Если f "(х)>0 для всех х из промежутка (а; в), то функция возрастает на промежутке (а; в).

Если f "(х)<0 для всех х из промежутка (а; в), то функция убывает на промежутке (а; в).

(Если функция непрерывна на конце промежутка, то его можно присоединить к промежутку возрастания (убывания) функции.)

9) Точки экстремума, экстремум функции.

Х 0 - точка максимума, Х 0 –точка минимума называются точками экстремума .

f(х 0) - максимум функции,

f(х 0) - минимум функции называются экстремумами функции .

10) Алгоритм нахождения экстремумов функции.

1. Находим область определения функции.

2. Находим производную функции.

3. Находим критические точки.

4. Определим знак производной на каждом из интервалов, на которые критические точки разбивают область определения.

5. Найдем точки экстремума, учитывая характер изменения знака производной.

6. Найдем экстремумы функций.

11) Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

1. Найти значения функции на концах отрезка [а; в].

2. Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (а; в).

3. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Практическая часть зачета

“Исследование функций с помощью производной.

Наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке”

а) критические точки функций,

б) экстремумы функций

в) наибольшее и наименьшее значения функций на указанном промежутке

г) построить график.

1. у=(х-3) 2 (х-2).		11. у=2х 4 -х.	[-1;1]
2. у=1/3х 3 +х 2	[-4;1]	12. у=х 2 -2/х.	[-3;-0,5]
3. у=1/3х 3 -х 2 -3х	[-2;6]	13. у=1/(х 2 +1).	[-1;2]
4. у=-1/4х 4 +2х 2 +1.	[-3;3]	14. у=3х-х 3 .	[-1,5;1,5]
5. у=х 4 -8х 2 -9.	[-3;3]	15. у=2х 2 -х 4 .	[-2;1,5]
6. у=(х-2)(х+1) 2 .	[-1,5;1,5]	16. у=3х 2/3 -х 2 .	[-8;8]
7. у=-2/3х 3 +2х-4/3.	[-1,5;1,5]	17. у=3х 1/3 -х.	[-8;8]
8. у=3х 5 -5х 4 +4.	[-1;1]	18. у=х 3 -1,5х 2 -6х+4.	[-2;3]
9. у=9х 2 -9х 3 .	[-0,5;1]	19. у=(1-х)/(х 2 +3).	[-2;5]
10. у=1/3х 3 -4х.	[-3;3]	20. у= -х 4 +2х 2 +3.	[-0,5;2]

В задаче B15 предлагается исследовать на экстремумы функцию, заданную формулой. Это стандартная задача по математическому анализу, и ее сложность сильно меняется зависимости от рассматриваемой функции: некоторые из них решаются буквально устно, другие же требуют серьезных размышлений.

Прежде чем изучать методы решения, надо усвоить некоторые термины из области математического анализа. Итак, в задаче B15 требуется найти с помощью производной следующие величины:

1. Точки локального максимума (минимума) - значение переменной, при которой функция достигает своей наибольшей (наименьшей) величины. Такие точки еще называются точками экстремума.
2. Глобальный максимум (минимум) функции - наибольшее (наименьшее) значение функции при указанных ограничениях. Другое название - глобальные экстремумы.

При этом глобальные экстремумы обычно ищутся не на всей области определения функции, а лишь на некотором отрезке . Важно понимать, что глобальный экстремум и значение функции в точке экстремума далеко не всегда совпадают. Поясним это на конкретном примере:

Задача. Найти точку минимума и минимальное значение функции y = 2x 3 − 3x 2 − 12x + 1 на отрезке [−3; 3].

Сначала найдем точку минимума, для чего вычислим производную:
y’ = (2x 3 − 3x 2 − 12x + 1)’ = 6x 2 − 6x − 12.

Найдем критические точки, решив уравнение y’ = 0. Получим стандартное квадратное уравнение:
y’ = 0 ⇒ 6x 2 − 6x − 12 = 0 ⇒ ... ⇒ x 1 = −1, x 2 = 2.

Отметим эти точки на координатной прямой, добавим знаки производной и ограничения - концы отрезка:

Масштаб картинки не имеет значения. Самое главное - отметить точки в правильной последовательности. Из школьного курса математики известно, что в точке минимума производная меняет знак с минуса на плюс. Отсчет всегда идет слева направо - в направлении положительной полуоси. Поэтому точка минимума одна: x = 2.

Теперь найдем минимальное значение функции на отрезке [−3; 3]. Оно достигается либо в точке минимума (тогда она становится точкой глобального минимума), либо на конце отрезка. Заметим, что на интервале (2; 3) производная всюду положительна, а значит y(3) > y(2), поэтому правый конец отрезка можно не рассматривать. Остались лишь точки x = −3 (левый конец отрезка) и x = 2 (точка минимума). Имеем:
y(−3) = 2(−3) 3 − 3(−3) 2 − 12(−3) + 1 = −44;
y(2) = 2*2 3 − 3*2 2 − 12*2 + 1 = −19.

Итак, наименьшее значение функции достигается на конце отрезка и равно −44.

Ответ : x min = 2; y min = −44

Из приведенных рассуждений следует важный факт, о котором многие забывают. Функция принимает максимальное (минимальное) значение не обязательно в точке экстремума. Иногда такое значение достигается на конце отрезка, и производная там не обязана равняться нулю.

Схема решения задач B15

Если в задаче B15 требуется найти максимальное или минимальное значение функции f(x) на отрезке , выполняем следующие действия:

1. Решить уравнение f’(x) = 0. Если корней нет, пропускаем третий шаг и переходим сразу к четвертому.
2. Из полученного набора корней вычеркнуть все, что лежит за пределами отрезка . Оставшиеся числа обозначим x 1 , x 2 , ..., x n - их, как правило, будет немного.
3. Подставим концы отрезка и точки x 1 , x 2 , ..., x n в исходную функцию. Получим набор чисел f(a), f(b), f(x 1), f(x 2), ..., f(x n), из которого выбираем наибольше или наименьшее значение - это и будет ответ.

Небольшое пояснение по поводу вычеркивания корней, когда они совпадают с концами отрезка. Их тоже можно вычеркнуть, поскольку на четвертом шаге концы отрезка все равно подставляются в функцию - даже если уравнение f’(x) = 0 не имело решений.

Задача. Найти наибольшее значение функции y = x 3 + 3x 2 − 9x − 7 на отрезке [−5; 0].

Для начала найдем производную: y’ = (x 3 + 3x 2 − 9x − 7)’ = 3x 2 + 6x − 9.

Затем решаем уравнение: y’ = 0 ⇒ 3x 2 + 6x − 9 = 0 ⇒ ... ⇒ x = −3; x = 1.

Вычеркиваем корень x = 1, потому что он не принадлежит отрезку [−5; 0].

Осталось вычислить значение функции на концах отрезка и в точке x = −3:
y(−5) = (−5) 3 + 4·(−5) 2 − 9·(−5) − 7 = −12;
y(−3) = (−3) 3 + 4·(−3) 2 − 9·(−3) − 7 = 20;
y(0) = 0 3 + 4·0 2 − 9·0 − 7 = −7.

Очевидно, наибольшее значение равно 20 - оно достигается в точке x = −3.

Теперь рассмотрим случай, когда требуется найти точку максимума или минимума функции f(x) на отрезке . Если отрезок не задан, функция рассматривается на своей области определения. В любом случае, схема решения такова:

1. Найти производную функции: f’(x).
2. Решить уравнение f’(x) = 0. Если производная - дробно-рациональная функция, дополнительно выясняем, когда ее знаменатель равен нулю. Полученные корни обозначим x 1 , x 2 , ..., x n .
3. Отметить x 1 , x 2 , ..., x n на координатной прямой и расставить знаки, которые принимает производная между этими числами. Если задан отрезок , отмечаем его и вычеркиваем все, что лежит за его пределами.
4. Среди оставшихся точек ищем такую, где знак производной меняется с минуса на плюс (это точка минимума) или с плюса на минус (точка минимума). Такая точка должна быть только одна - это и будет ответ.

Вдумчивый читатель наверняка заметит, что для некоторых функций этот алгоритм не работает. Действительно, существует целый класс функций, для которых нахождение точек экстремума требует более сложных выкладок. Однако такие функции в ЕГЭ по математике не встречаются.

Внимательно отнеситесь к расстановке знаков между точками x 1 , x 2 , ..., x n . Помните: при переходе через корень четной кратности знак у производной не меняется. Когда ищутся точки экстремума, знаки всегда просматриваются слева направо, т.е. по направлению числовой оси.

Задача. Найти точку максимума функции

на отрезке [−8; 8].

Найдем производную:

Поскольку это дробно-рациональная функция, приравниваем к нулю производную и ее знаменатель:
y’ = 0 ⇒ x 2 − 25 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 5; x = −5;
x 2 = 0 ⇒ x = 0 (корень второй кратности).

Отметим точки x = −5, x = 0 и x = 5 на координатной прямой, расставим знаки и границы:

Очевидно, что внутри отрезка осталась лишь одна точка x = −5, в которой знак производной меняется с плюса на минус. Это и есть точка максимума.

Еще раз поясним, чем отличаются точки экстремума от самих экстремумов. Точки экстремума - это значения переменных, при которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение. Экстремумы - это значения самих функций, максимальные или минимальные в некоторой своей окрестности.

Помимо обычных многочленов и дробно-рациональных функций, в задаче B15 встречаются следующие виды выражений:

1. Иррациональные функции,
2. Тригонометрические функции,
3. Показательные функции,
4. Логарифмические функции.

С иррациональными функциями проблем, как правило, не возникает. Остальные случаи стоит рассмотреть более подробно.

Тригонометрические функции

Основная сложность тригонометрических функций состоит в том, что при решении уравнений возникает бесконечное множество корней. Например, уравнение sin x = 0 имеет корни x = πn, где n ∈ Z. Ну и как отмечать их на координатной прямой, если таких чисел бесконечно много?

Ответ прост: надо подставлять конкретные значения n. Ведь в задачах B15 с тригонометрическими функциями всегда есть ограничение - отрезок . Поэтому для начала берем n = 0, а затем увеличиваем n до тех пор, пока соответствующий корень не «вылетит» за пределы отрезка . Аналогично, уменьшая n, очень скоро получим корень, который меньше нижней границы.

Несложно показать, что никаких корней, кроме полученных в рассмотренном процессе, на отрезке не существует. Рассмотрим теперь этот процесс на конкретных примерах.

Задача. Найти точку максимума функции y = sin x − 5x·sin x − 5cos x + 1, принадлежащую отрезку [−π/3; π/3].

Вычисляем производную: y’ = (sin x − 5x·sin x − 5cos x + 1)’ = ... = cos x − 5x·cos x = (1 − 5x)·cos x.

Затем решаем уравнение: y’ = 0 ⇒ (1 − 5x)·cos x = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0,2 или x = π/2 + πn, n ∈ Z.

С корнем x = 0,2 все понятно, а вот формула x = π/2 + πn требует дополнительной обработки. Будем подставлять разные значения n, начиная с n = 0.

n = 0 ⇒ x = π/2. Но π/2 > π/3, поэтому корень x = π/2 не входит в исходный отрезок. Кроме того, чем больше n, тем больше x, поэтому нет смысла рассматривать n > 0.

n = −1 ⇒ x = − π/2. Но −π/2 < −π/3 - этот корень тоже придется отбросить. А вместе с ним - и все корни для n < −1.

Получается, что на отрезке [−π/3; π/3] лежит только корень x = 0,2. Отметим его вместе со знаками и границами на координатной прямой:

Чтобы удостовериться, что справа от x = 0,2 производная действительно отрицательна, достаточно подставить в y’ значение x = π/4. Мы же просто отметим, что в точке x = 0,2 производная меняет знак с плюса на минус, а следовательно это точка максимума.

Задача. Найти наибольшее значение функции y = 4tg x − 4x + π − 5 на отрезке [−π/4; π/4].

Вычисляем производную: y’ = (4tg x − 4x + π − 5)’ = 4/cos 2x − 4.

Затем решаем уравнение: y’ = 0 ⇒ 4/cos 2x − 4 = 0 ⇒ ... ⇒ x = πn, n ∈ Z.

Выделим из этой формулы корни, подставляя конкретные n, начиная с n = 0:
n = 0 ⇒ x = 0. Этот корень нам подходит.
n = 1 ⇒ x = π. Но π > π/4, поэтому корень x = π и значения n > 1 надо вычеркнуть.
n = −1 ⇒ x = −π. Но π < −π/4, поэтому x = π и n < −1 тоже вычеркиваем.

Из всего многообразия корней остался лишь один: x = 0. Поэтому вычисляем значение функции для x = 0, x = π/4 и x = −π/4.
y(0) = 4tg 0 − 4·0 + π − 5 = π − 5;
y(π/4) = 4tg (π/4) − 4·π/4 + π − 5 = −1;
y(π/4) = 4tg (−π/4) − 4·(−π/4) + π − 5 = ... = 2π − 9.

Теперь заметим, что π = 3,14... < 4, поэтому π − 5 < 4 − 5 = −1 и 2π − 9 < 8 − 9 = −1. Получается одно положительное число и два отрицательных. Мы ищем наибольшее - очевидно, это y = −1.

Заметим, что в последней задаче можно было и не сравнивать числа между собой. Ведь из чисел π − 5, 1 и 2π − 9 в бланк ответов может быть записана лишь единица. Действительно, как написать в бланке, скажем, число π? А никак. Это важная особенность первой части ЕГЭ по математике, которая значительно упрощает решение многих задач. И работает она не только в B15.

Иногда при исследовании функции возникают уравнения, у которых нет корней. В таком случае задача становится еще проще, поскольку остается рассмотреть лишь концы отрезка.

Задача. Найти наименьшее значение функции y = 7sin x − 8x + 5 на отрезке [−3π/2; 0].

Сначала находим производную: y’ = (7sin x − 8x + 5)’ = 7cos x − 8.

Попробуем решить уравнение: y’ = 0 ⇒ 7cos x − 8 = 0 ⇒ cos x = 8/7. Но значения cos x всегда лежат на отрезке [−1; 1], а 8/7 > 1. Поэтому корней нет.

Если корней нет, то и вычеркивать ничего не надо. Переходим к последнему шагу - вычисляем значение функции:
y(−3π/2) = 7sin (−3π/2) − 8·(−3π/2) + 5 = ... = 12π + 12;
y(0) = 7sin 0 − 8·0 + 5 = 5.

Поскольку число 12π + 12 в бланк ответов не записать, остается лишь y = 5.

Показательные функции

Вообще говоря, показательная функция - это выражение вида y = a x , где a > 0. Но в задаче B15 встречаются только функции вида y = e x и, в крайнем случае, y = e kx + b . Причина в том, что производные этих функций считаются очень легко:

1. (e x)" = e x . Ничего не изменилось.
2. (e kx + b)" = k·e kx + b . Просто добавляется множитель, равный коэффициенту при переменной x. Это частный случай производной сложной функции.

Все остальное абсолютно стандартно. Разумеется, настоящие функции в задачах B15 выглядят более сурово, но схема решения от этого не меняется. Рассмотрим пару примеров, выделяя лишь основные моменты решения - без основательных рассуждений и комментариев.

Задача. Найти наименьшее значение функции y = (x 2 − 5x + 5)e x − 3 на отрезке [−1; 5].

Производная: y’ = ((x 2 − 5x + 5)e x − 3)’ = ... = (x 2 − 3x)e x − 3 = x(x − 3)e x − 3 .

Находим корни: y’ = 0 ⇒ x(x − 3)e x − 3 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0; x = 3.

Оба корня лежат на отрезке [−1; 5]. Осталось найти значение функции во всех точках:
y(−1) = ((−1) 2 − 5·(−1) + 5)e − 1 − 3 = ... = 11·e −4 ;
y(0) = (0 2 − 5·0 + 5)e 0 − 3 = ... = 5·e −3 ;
y(3) = (3 2 − 5·3 + 5)e 3 − 3 = ... = −1;
y(5) = (5 2 − 5·5 + 5)e 5 − 3 = ... = 5·e 2 .

Из четырех полученных чисел в бланк можно записать лишь y = −1. К тому же, это единственное отрицательное число - оно и будет наименьшим.

Задача. Найти наибольшее значение функции y = (2x − 7)·e 8 − 2x на отрезке .

Производная: y’ = ((2x − 7)·e 8 − 2x)’ = ... = (16 − 4x)·e 8 − 2x = 4(4 − x)·e 8 − 2x .

Находим корни: y’ = 0 ⇒ 4(4 − x)·e 8 − 2x = 0 ⇒ x = 4.

Корень x = 4 принадлежит отрезку . Ищем значения функции:
y(0) = (2·0 − 7)e 8 − 2·0 = ... = −7·e 8 ;
y(4) = (2·4 − 7)e 8 − 2·4 = ... = 1;
y(6) = (2·6 − 7)e 8 − 2·6 = ... = 5·e −4 .

Очевидно в качестве ответа может выступать лишь y = 1.

Логарифмические функции

По аналогии с показательными функциями, в задаче B15 встречаются только натуральные логарифмы, поскольку их производная легко считается:

1. (ln x)’ = 1/x;
2. (ln(kx + b))’ = k/(kx + b). В частности, если b = 0, то (ln(kx))’ = 1/x.

Таким образом, производная всегда будет дробно-рациональной функцией. Остается лишь приравнять эту производную и ее знаменатель к нулю, а затем решить полученные уравнения.

Для поиска максимального или минимального значения логарифмической функции помните: натуральный логарифм обращается в «нормальное» число только в точках вида e n . Например, ln 1 = ln e 0 = 0 - это логарифмический ноль, и чаще всего решение сводится именно к нему. В остальных случаях «убрать» знак логарифма невозможно.

Задача. Найти наименьшее значение функции y = x 2 − 3x + ln x на отрезке .

Считаем производную:

Находим нули производной и ее знаменателя:
y’ = 0 ⇒ 2x 2 − 3x + 1 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0,5; x = 1;
x = 0 - тут решать нечего.

Из трех чисел x = 0, x = 0,5 и x = 1 внутри отрезка лежит только x = 1, а число x = 0,5 является его концом. Имеем:
y(0,5) = 0,5 2 − 3·0,5 + ln 0,5 = ln 0,5 − 1,25;
y(1) = 1 2 − 3·1 + ln 1 = −2;
y(5) = 5 2 − 3·5 + ln 5 = 10 + ln 5.

Из полученных трех значений лишь y = −2 не содержит знака логарифма - это и будет ответ.

Задача. Найти наибольшее значение функции y = ln(6x) − 6x + 4 на отрезке .

Вычисляем производную:

Выясняем, когда производная или ее знаменатель равны нулю:
y’ = 0 ⇒ 1 − 6x = 0 ⇒ x = 1/6;
x = 0 - уже решено.

Вычеркиваем число x = 0, поскольку оно лежит за пределами отрезка . Считаем значение функции на концах отрезка и в точке x = 1/6:
y(0,1) = ln(6·0,1) − 6·0,1 + 4 = ln 0,6 + 3,4;
y(1/6) = ln(6·1/6) − 6·1/6 + 4 = ln 1 + 3 = 3;
y(3) = ln(6·3) − 6·3 + 4 = ln 18 − 14.

Очевидно, только y = 3 может выступать в качестве ответа - остальные значения содержат знак логарифма и не могут быть записаны в бланк ответов.

Как исследовать функцию и построить её график?

Похоже, я начинаю понимать одухотворённо-проникновенный лик вождя мирового пролетариата, автора собрания сочинений в 55 томах…. Нескорый путь начался элементарными сведениями о функциях и графиках , и вот сейчас работа над трудоемкой темой заканчивается закономерным результатом – статьёй о полном исследовании функции . Долгожданное задание формулируется следующим образом:

Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и на основании результатов исследования построить её график

Или короче: исследовать функцию и построить график.

Зачем исследовать? В простых случаях нас не затруднит разобраться с элементарными функциями, начертить график, полученный с помощью элементарных геометрических преобразований и т.п. Однако свойства и графические изображения более сложных функций далеко не очевидны, именно поэтому и необходимо целое исследование.

Основные этапы решения сведены в справочном материале Схема исследования функции , это ваш путеводитель по разделу. Чайникам требуется пошаговое объяснение темы, некоторые читатели не знают с чего начать и как организовать исследование, а продвинутым студентам, возможно, будут интересны лишь некоторые моменты. Но кем бы вы ни были, уважаемый посетитель, предложенный конспект с указателями на различные уроки в кратчайший срок сориентирует и направит Вас в интересующем направлении. Роботы прослезились =) Руководство свёрстано в виде pdf-файла и заняло заслуженное место на странице Математические формулы и таблицы .

Исследование функции я привык разбивать на 5-6 пунктов:

6) Дополнительные точки и график по результатам исследования.

На счёт заключительного действия, думаю, всем всё понятно – будет очень обидно, если в считанные секунды его перечеркнут и вернут задание на доработку. ПРАВИЛЬНЫЙ И АККУРАТНЫЙ ЧЕРТЁЖ – это основной результат решения! Он с большой вероятностью «прикроет» аналитические оплошности, в то время как некорректный и/или небрежный график доставит проблемы даже при идеально проведённом исследовании.

Следует отметить, что в других источниках количество пунктов исследования, порядок их выполнения и стиль оформления могут существенно отличаться от предложенной мной схемы, но в большинстве случаев её вполне достаточно. Простейшая версия задачи состоит всего из 2-3 этапов и формулируется примерно так: «исследовать функцию с помощью производной и построить график» либо «исследовать функцию с помощью 1-й и 2-й производной, построить график».

Естественно – если в вашей методичке подробно разобран другой алгоритм или ваш преподаватель строго требует придерживаться его лекций, то придётся внести некоторые коррективы в решение. Не сложнее, чем заменить вилку бензопилой ложкой.

Проверим функцию на чётность/нечётность:

После чего следует шаблонная отписка:
, значит, данная функция не является чётной или нечётной.

Так как функция непрерывна на , то вертикальные асимптоты отсутствуют.

Нет и наклонных асимптот.

Примечание : напоминаю, что более высокого порядка роста , чем , поэтому итоговый предел равен именно «плюс бесконечности».

Выясним, как ведёт себя функция на бесконечности:

Иными словами, если идём вправо, то график уходит бесконечно далеко вверх, если влево – бесконечно далеко вниз. Да, здесь тоже два предела под единой записью. Если у вас возникли трудности с расшифровкой знаков , пожалуйста, посетите урок о бесконечно малых функциях .

Таким образом, функция не ограничена сверху и не ограничена снизу . Учитывая, что у нас нет точек разрыва, становится понятна и область значений функции : – тоже любое действительное число.

ПОЛЕЗНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ ПРИЁМ

Каждый этап задания приносит новую информацию о графике функции , поэтому в ходе решения удобно использовать своеобразный МАКЕТ. Изобразим на черновике декартову систему координат. Что уже точно известно? Во-первых, у графика нет асимптот, следовательно, прямые чертить не нужно. Во-вторых, мы знаем, как функция ведёт себя на бесконечности. Согласно проведённому анализу, нарисуем первое приближение:

Заметьте, что в силу непрерывности функции на и того факта, что , график должен, по меньшей мере, один раз пересечь ось . А может быть точек пересечения несколько?

3) Нули функции и интервалы знакопостоянства.

Сначала найдём точку пересечения графика с осью ординат. Это просто. Необходимо вычислить значение функции при :

Полтора над уровнем моря.

Чтобы найти точки пересечения с осью (нули функции) требуется решить уравнение , и тут нас поджидает неприятный сюрприз:

В конце притаился свободный член, который существенно затрудняет задачу.

Такое уравнение имеет, как минимум, один действительный корень, и чаще всего этот корень иррационален. В худшей же сказке нас поджидают три поросёнка. Уравнение разрешимо с помощью так называемых формул Кардано , но порча бумаги сопоставима чуть ли не со всем исследованием. В этой связи разумнее устно либо на черновике попытаться подобрать хотя бы один целый корень. Проверим, не являются ли оными числа :
– не подходит;
– есть!

Здесь повезло. В случае неудачи можно протестировать ещё и , а если и эти числа не подошли, то шансов на выгодное решение уравнения, боюсь, очень мало. Тогда пункт исследования лучше полностью пропустить – авось станет что-нибудь понятнее на завершающем шаге, когда будут пробиваться дополнительные точки. И если таки корень (корни) явно «нехорошие», то об интервалах знакопостоянства лучше вообще скромно умолчать да поаккуратнее выполнить чертёж.

Однако у нас есть красивый корень , поэтому делим многочлен на без остатка:

Алгоритм деления многочлена на многочлен детально разобран в первом примере урока Сложные пределы .

В итоге левая часть исходного уравнения раскладывается в произведение:

А теперь немного о здоровом образе жизни. Я, конечно же, понимаю, что квадратные уравнения нужно решать каждый день, но сегодня сделаем исключение: уравнение имеет два действительных корня .

На числовой прямой отложим найденные значения и методом интервалов определим знаки функции:


ог Таким образом, на интервалах график расположен
ниже оси абсцисс , а на интервалах – выше данной оси .

Полученные выводы позволяют детализировать наш макет, и второе приближение графика выглядит следующим образом:

Обратите внимание, что на интервале функция обязательно должна иметь хотя бы один максимум, а на интервале – хотя бы один минимум. Но сколько раз, где и когда будет «петлять» график, мы пока не знаем. К слову, функция может иметь и бесконечно много экстремумов .

4) Возрастание, убывание и экстремумы функции.

Найдём критические точки:

Данное уравнение имеет два действительных корня . Отложим их на числовой прямой и определим знаки производной:


Следовательно, функция возрастает на и убывает на .
В точке функция достигает максимума: .
В точке функция достигает минимума: .

Установленные факты загоняют наш шаблон в довольно жёсткие рамки:

Что и говорить, дифференциальное исчисление – штука мощная. Давайте окончательно разберёмся с формой графика:

5) Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Найдём критические точки второй производной:

Определим знаки :


График функции является выпуклым на и вогнутым на . Вычислим ординату точки перегиба: .

Практически всё прояснилось.

6) Осталось найти дополнительные точки, которые помогут точнее построить график и выполнить самопроверку. В данном случае их мало, но пренебрегать не будем:

Выполним чертёж:

Зелёным цветом отмечена точка перегиба, крестиками – дополнительные точки. График кубической функции симметричен относительно своей точки перегиба, которая всегда расположена строго посередине между максимумом и минимумом.

По ходу выполнения задания я привёл три гипотетических промежуточных чертежа. На практике же достаточно нарисовать систему координат, отмечать найденные точки и после каждого пункта исследования мысленно прикидывать, как может выглядеть график функции. Студентам с хорошим уровнем подготовки не составит труда провести такой анализ исключительно в уме без привлечения черновика.

Для самостоятельного решения:

Пример 2

Исследовать функцию и построить график.

Тут всё быстрее и веселее, примерный образец чистового оформления в конце урока.

Немало секретов раскрывает исследование дробно-рациональных функций:

Пример 3

Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и на основании результатов исследования построить её график.

Решение : первый этап исследования не отличается чем-то примечательным, за исключением дырки в области определения:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , область определения : .

, значит, данная функция не является четной или нечетной.

Очевидно, что функция непериодическая.

График функции представляет собой две непрерывные ветви, расположенные в левой и правой полуплоскости – это, пожалуй, самый важный вывод 1-го пункта.

2) Асимптоты, поведение функции на бесконечности.

а) С помощью односторонних пределов исследуем поведение функции вблизи подозрительной точки, где явно должна быть вертикальная асимптота:

Действительно, функции терпит бесконечный разрыв в точке ,
а прямая (ось ) является вертикальной асимптотой графика .

б) Проверим, существуют ли наклонные асимптоты:

Да, прямая является наклонной асимптотой графика , если .

Пределы анализировать смысла не имеет, поскольку и так понятно, что функция в обнимку со своей наклонной асимптотой не ограничена сверху и не ограничена снизу .

Второй пункт исследования принёс много важной информации о функции. Выполним черновой набросок:

Вывод №1 касается интервалов знакопостоянства. На «минус бесконечности» график функции однозначно расположен ниже оси абсцисс, а на «плюс бесконечности» – выше данной оси. Кроме того, односторонние пределы сообщили нам, что и слева и справа от точки функция тоже больше нуля. Обратите внимание, что в левой полуплоскости график, по меньшей мере, один раз обязан пересечь ось абсцисс. В правой полуплоскости нулей функции может и не быть.

Вывод №2 состоит в том, что функция возрастает на и слева от точки (идёт «снизу вверх»). Справа же от данной точки – функция убывает (идёт «сверху вниз»). У правой ветви графика непременно должен быть хотя бы один минимум. Слева экстремумы не гарантированы.

Вывод №3 даёт достоверную информацию о вогнутости графика в окрестности точки . О выпуклости/вогнутости на бесконечностях мы пока ничего сказать не можем, поскольку линия может прижиматься к своей асимптоте как сверху, так и снизу. Вообще говоря, есть аналитический способ выяснить это прямо сейчас, но форма графика «даром» прояснится на более поздних этапах.

Зачем столько слов? Чтобы контролировать последующие пункты исследования и не допустить ошибок! Дальнейшие выкладки не должны противоречить сделанным выводам.

3) Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства функции.

График функции не пересекает ось .

Методом интервалов определим знаки :

, если ;
, если .

Результаты пункта полностью соответствуют Выводу №1. После каждого этапа смотрите на черновик, мысленно сверяйтесь с исследованием и дорисовывайте график функции.

В рассматриваемом примере числитель почленно делится на знаменатель, что очень выгодно для дифференцирования:

Собственно, это уже проделывалось при нахождении асимптот.

– критическая точка.

Определим знаки :

возрастает на и убывает на

В точке функция достигает минимума: .

Разночтений с Выводом №2 также не обнаружилось, и, вероятнее всего, мы на правильном пути.

Значит, график функции является вогнутым на всей области определения.

Отлично – и чертить ничего не надо.

Точки перегиба отсутствуют.

Вогнутость согласуется с Выводом №3, более того, указывает, что на бесконечности (и там и там) график функции расположен выше своей наклонной асимптоты.

6) Добросовестно приколотим задание дополнительными точками. Вот здесь придётся изрядно потрудиться, поскольку из исследования нам известны только две точки.

И картинка, которую, наверное, многие давно представили:

В ходе выполнения задания нужно тщательно следить за тем, чтобы не возникало противоречий между этапами исследования, но иногда ситуация бывает экстренной или даже отчаянно-тупиковой. Вот «не сходится» аналитика – и всё тут. В этом случае рекомендую аварийный приём: находим как можно больше точек, принадлежащих графику (сколько хватит терпения), и отмечаем их на координатной плоскости. Графический анализ найденных значений в большинстве случаев подскажет, где правда, а где ложь. Кроме того, график можно предварительно построить с помощью какой-нибудь программы, например, в том же Экселе (понятно, для этого нужны навыки).

Пример 4

Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и построить её график.

Это пример для самостоятельного решения. В нём самоконтроль усиливается чётностью функции – график симметричен относительно оси , и если в вашем исследовании что-то противоречит данному факту, ищите ошибку.

Чётную или нечётную функцию можно исследовать только при , а потом пользоваться симметрией графика. Такое решение оптимально, однако выглядит, по моему мнению, весьма непривычно. Лично я рассматриваю всю числовую ось, но дополнительные точки нахожу всё же лишь справа:

Пример 5

Провести полное исследование функции и построить её график.

Решение : понеслась нелёгкая:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой: .

Значит, данная функция является нечетной, её график симметричен относительно начала координат.

Очевидно, что функция непериодическая.

2) Асимптоты, поведение функции на бесконечности.

Так как функция непрерывна на , то вертикальные асимптоты отсутствуют

Для функции, содержащей экспоненту, типично раздельное исследование «плюс» и «минус бесконечности», однако нашу жизнь облегчает как раз симметрия графика – либо и слева и справа есть асимптота, либо её нет. Поэтому оба бесконечных предела можно оформить под единой записью. В ходе решения используем правило Лопиталя :

Прямая (ось ) является горизонтальной асимптотой графика при .

Обратите внимание, как я хитро избежал полного алгоритма нахождения наклонной асимптоты: предел вполне легален и проясняет поведение функции на бесконечности, а горизонтальная асимптота обнаружилась «как бы заодно».

Из непрерывности на и существования горизонтальной асимптоты следует тот факт, что функция ограничена сверху и ограничена снизу .

3) Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства.

Здесь тоже сокращаем решение:
График проходит через начало координат.

Других точек пересечения с координатными осями нет. Более того, интервалы знакопостоянства очевидны, и ось можно не чертить: , а значит, знак функции зависит только от «икса»:
, если ;
, если .

4) Возрастание, убывание, экстремумы функции.


– критические точки.

Точки симметричны относительно нуля, как оно и должно быть.

Определим знаки производной:


Функция возрастает на интервале и убывает на интервалах

В точке функция достигает максимума: .

В силу свойства (нечётности функции) минимум можно не вычислять:

Поскольку функция убывает на интервале , то, очевидно, на «минус бесконечности» график расположен под своей асимптотой. На интервале функция тоже убывает, но здесь всё наоборот – после перехода через точку максимума линия приближается к оси уже сверху.

Из вышесказанного также следует, что график функции является выпуклым на «минус бесконечности» и вогнутым на «плюс бесконечности».

После этого пункта исследования прорисовалась и область значений функции:

Если у вас возникло недопонимание каких-либо моментов, ещё раз призываю начертить в тетради координатные оси и с карандашом в руках заново проанализировать каждый вывод задания.

5) Выпуклость, вогнутость, перегибы графика.

– критические точки.

Симметрия точек сохраняется, и, скорее всего, мы не ошибаемся.

Определим знаки :


График функции является выпуклым на и вогнутым на .

Выпуклость/вогнутость на крайних интервалах подтвердилась.

Во всех критических точках существуют перегибы графика. Найдём ординаты точек перегиба, при этом снова сократим количество вычислений, используя нечётность функции:

МОУ средняя общеобразовательная школа № 18.

«Исследование функции с помощью производной».

Реферат по математике ко Дню науки.

Выполнила:

ученица 11”Б” класса

Бокарева Ирина Николаевна

Руководитель:

учитель математики

Батюкова Галина Викторовна.

Смоленск 2005

Введение. 3

Глава I. Развитие понятия функции. 4

Глава II. Основные свойства функции. 7

2.1. Определение функции и графика функции. Область определения и

область значений функции. Нули функции. 7

2.2. Виды функций (четные, нечетные, общего вида, периодические

функции). 8

2.3. Возрастание и убывание функций. Экстремумы. 10

Глава III. Исследование функций. 12

3.1. Общая схема исследования функций. 12

3.2. Признак возрастания и убывания функций. 12

3.3. Критические точки функции, максимумы и минимумы. 13

3.4. Наибольшие и наименьшие значения функции. 14

Глава IV. Примеры применения производной к исследованию функции. 15

Заключение. 22

Список литературы 23

Введение.

Изучение свойств функции и построение ее графика являются одним из самых замечательных приложений производной. Этот способ исследования функции неоднократно подвергался тщательному анализу. Основная причина состоит в том, что в приложениях математики приходилось иметь дело со все более и более сложными функциями, появляющимися при изучении новых явлений. Появились исключения из разработанных математикой правил, появились случаи, когда вообще созданные правила не годились, появились функции, не имеющие ни в одной точке производной.

Целью изучения курса алгебры и начал анализа в 10-11 классах является систематическое изучение функций, раскрытие прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функций.

Выбрав тему реферата «Исследование функции с помощью производной» я поставила следующие задачи:

Систематизировать свои знания о функции, как важнейшей математической модели;

Усовершенствовать свое умение в применении дифференциального исчисления для исследования элементарных функций.

Развитие функциональных представлений в курсе изучения алгебры и начал анализа на старшей ступени обучения помогает старшеклассникам получить наглядные представления о непрерывности и разрывах функций, узнать о непрерывности любой элементарной функции на области ее применения, научиться строить их графики и обобщить сведения об основных элементарных функциях и осознать их роль в изучении явлений реальной действительности, в человеческой практики.

Работа над содержанием темы «Исследование функций с помощью производной» повысит уровень моей математической подготовки, позволит решать задачи более высокой сложности по сравнению с обязательным курсом.

Глава I. Развитие понятия функции.

Принципиально новая часть курса алгебры посвящена изучению начал анализа. Математический анализ – ветвь математики, оформившаяся в XVIII столетии и включающая в себя две основные части: дифференциальное и интегральное исчисления. Анализ возник благодаря усилиям многих математиков и сыграл громадную роль в развитии естествознания – появился мощный, достаточно универсальный метод исследования функций, возникающих при решении разнообразных прикладных задач. Знакомство с начальными понятиями и методами анализа – одна из важнейших целей курса.

Начиная с XVIII века одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Необходимые предпосылки к возникновению понятия функции были созданы, когда возникла аналитическая геометрия, характеризующаяся активным привлечением алгебры к решению геометрических задач.

Идея функциональной зависимости возникла в глубокой древности. Она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур и геометрических тел.

Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берет свое начало в XVII веке в связи с проникновением в математику идеи переменных.

Четкого представления понятия функции в XVII веке еще не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт. Постепенно понятие функции стало отождествляться с понятием аналитического выражения – формулы.

Явное определение функции было впервые дано в 1718 году Иоганном Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».

Леонард Эйлер во «Введении в анализ бесконечных» (1748) примыкает к определению своего учителя И.Бернулли, несколько уточняя его. Правда, он не всегда придерживался вышеуказанного определения. Эйлер придает более широкий смысл функции, понимая ее как кривую, начертанную «свободным влечением руки».

В «Дифференциальном исчислении», вышедшим в свет в 1755 году, Эйлер дает общее определение функции: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых».

Большой вклад в решение споров внес Жан Батист Жозеф Фурье, который впервые привел примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями.

Во второй половине XIX века понятие функции формулируется следующим образом: если каждому элементу х множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества В , то говорят, что на множестве А задана функция y=f(x), или что множество А отображено на множество В.

Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам, например, к геометрическим фигурам.

Это общее определение функции сформировалось уже в XVIII веке и первой половине XIX века. Но уже с самого начала XX века это определение стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков.

Дирак ввел так называемую дельта-функцию, которая выходила далеко за рамки классического определения функции.

Сергей Львович Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики.

Важный вклад в развитие теории обобщенных функций внесли ученики и последователи Л.Шварца – И.М.Гельфанд, Г.Е.Шилов и другие.

Краткий обзор развития понятия функции приводит к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, кА никогда не закончится и эволюция математики в целом.

Глава II. Основные свойства функции.

2.1. Определение функции и графика функции. Область определения и область значений функции. Нули функции.

Умение изображать геометрически функциональные зависимости, заданные формулами, особенно важно для успешного усвоения курса высшей математики.

Как известно, функциональной зависимостью называют закон, по которому каждому значению величины х из некоторого множества чисел, называемого областью определения функции, ставится в соответствие одно вполне определенное значение величины у; совокупность значений, которые принимает зависимая переменная у, называется областью изменения функции.

Независимую переменную х называют также аргументом функции. Число у, соответствующее числу х, называют значением функции f в точке х и обозначают f(x).

Функцию можно задать тремя способами: аналитический, табличный, графический.

Аналитический – с помощью формул.

Табличный – с помощью таблиц, где можно указать значения функции, однако лишь для конечного набора значений аргумента.

Графический способ задания функции очень удобен: он дает возможность наглядно представить свойства функции.

Графиком функции f называют множество всех точек (х;у) координатной плоскости, где y=f(x), а х «пробегает» всю область определения функции f.

Пример 1 . Найти область определения функции y=lg (2x-3)

Ответ: D(y)=(1,5; +∞).

Одним из понятий для исследования функции является нули функции.

Нули функции – это точки, в которых функция принимает значение нуля.

Пример 2. Найти нули функции y=x 2 -5x.

По определению:

Ответ: нулями функции являются точки x=0 и х=5.

Пример 3. Найти нули функции y=4x-8

По определению:

у=0, тогда

Ответ: нулями этой функции является точка х=2.

2.2. Виды функций (четные, нечетные, общего вида, периодические функции).

Рассмотрим функции, области определения которых симметричны относительно начала координат, то есть для любого х из области определения число (-х) также принадлежит области определения. Среди таких функций выделяют четные и нечетные.

Определение: Функция f называется четной, если для любого х из ее области определения f(-x)=f(x).

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Пример 4. Определить вид функции y=2cos2x.

y=2cos2x, D(y)=R

y(-x)=2cos2(-x)=-2cos2x=2cos2x=y(x) – четная.

Пример 5. Определить вид функции y=x 4 -2x 2 +2.

y=x 4 -2x 2 +2, D(y)=R.

y(-x)=(-x) 4 -2(-x) 2 +2=x 4 -2x 2 +2=y(x) – четная.

Определение: Функция f называется нечетной, если для любого х из ее области определения f(-x)=-f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример 6. Определить вид функции y=2sin2x.

y=2sin2x, D(y)=R

y(-x)=2sin2(-x)=-2sin2x=-y(x) – нечетная.

Пример 7. Определить вид функции y=3x+1/3x.

y(-x)=3(-x)+1/3(-x)=-3x-1/3x=-(3x+1/3x)=-y(x) – нечетная.

Пример 4. Пример 5.

Определение: Функцию f называют периодической с периодом Т≠ 0, если для любого х из области определения значения этой функции в точках х, х-Т и х+Т равны, то есть f(x+T)=f(x)=f(x-T).

Пример 8. Определить период функции y=cos2x.

cos2x=cos2(x+T)=cos(2x+2T), где2T=2π, т.е. Т=π.

Для построения графика периодической функции с периодом Т достаточно провести построение на отрезке длиной Т и затем полученный график параллельно перенести на расстояния nT вправо и влево вдоль оси Ох.

Пример 9. Построить график периодической функции f(x)=sin2x.

sin2x=sin2(x+T)=sin(2x+2T), где 2Т=2π, т.е. Т=π.

2.3. Возрастание и убывание функций. Экстремумы.

Также к свойствам функции относятся возрастание и убывание функции, экстремумы.

Функция f возрастает на множестве Р, если для любых х 1 и х 2 из множества Р, таких, что х 2 >х 1 , выполнено неравенство f(x 2)>f(x 1).

Функция fубывает на множестве Р, если для любых х 1 и х 2 из множества Р, таких, что х 2 >х 1 , выполнено неравенство f(x 2)

Иными словами, функция fназывается возрастающей на множестве Р, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции. Функция fназывается убывающей на множестве Р, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

При построении графиков конкретных функций полезно предварительно найти точки минимума (x min) и максимума (x max).

Точка х 0 называется точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х 0 выполнено неравенство f(x) ≤f(x 0).

Точка х 0 называется точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х 0 выполнено неравенство f(x)≥ f(x 0).

Точки минимума и максимума принято называть точками экстремума.

Пример 10. Найти точки экстремума, экстремумы функции y=x 2 +2x, и указать промежутки возрастания и убывания функции.

y=x 2 +2x, D(y)=R

y’=(x 2 +2x)’=2x+2

y’=0, т.е. 2х+2=0

Исследуем знак производной справа и слева от крайней точки.

x=-2, y’=-4+2<0

x=0, y’=0+2>0

Так как производная меняет свой знак с «-» на «+», то х=-1, это точка минимума функции.

Так как функция непрерывна в точке х=-1, то функция возрастает на [-1;+∞] и убывает на [-∞;-1].

Точки экстремума: x min = -1

Экстремумы функции: y min =y(-1)=1-2= -1

Глава III. Исследование функций.

3.1. Общая схема исследования функций.

Исследуя функцию, нужно знать общую схему исследования:

1) D(y) – область определения (область изменения переменной х)

2) E(y) – область значения х (область изменения переменной у)

3) Вид функции: четная, нечетная, периодическая или функция общего вида.

4) Точки пересечения графика функции с осями Охи Оу (по возможности).

5) Промежутки знакопостоянства:

а) функция принимает положительное значение: f(x)>0

б) отрицательное значение: f(x)<0.

6) Промежутки монотонности функции:

а) возрастания;

б) убывания;

в) постоянства (f=const).

7) Точки экстремума (точки минимума и максимума)

8) Экстремумы функции (значение функции в точках минимума и максимума)

9) Дополнительные точки.

Они могут быть взяты для того, чтобы более точно построить график функции.

Следует заметить, что экстремумы функции f не всегда совпадают с наибольшим и наименьшим значением функции.

3.2. Признак возрастания и убывания функций.

Если строить график функции по каким-либо произвольно выбранным его точкам, соединяя их плавной линией, то даже при очень большом числе случайно выбранных точек может оказаться, что построенный таким образом график будет сильно отличаться от графика заданной функции.

Если при исследовании функции использовать производную и найти так называемые «опорные» точки, т.е. точки разрыва, точки максимума и минимума, промежутки монотонности функции, то даже при небольшом числе таких «опорных» точек мы получим правильное представление о графике функции.

Прежде чем обратиться к примерам, приведу необходимые определения и теоремы.

Определение монотонности функции на интервале Функция y=f(x) называется возрастающей на интервале, если для любых точек х 1 и х 2 этого интервала из условия х 1 <х 2 следует, что f(x 1)f(x 2), то функция называется убывающей на этом интервале.

Достаточный признак монотонности функции в интервале. Теорема: если функция имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке интервала, то функция возрастает (убывает) на этом интервале.

Эта теорема в школьных учебниках принимается без доказательства.

Геометрическое истолкование теоремы весьма простое, если вспомнить, что f ’(x)=tgα, α – это угловой коэффициент касательной к графику функции в заданной точке х. Если, например, f ‘ (x)>0 во всех точках некоторого интервала, то касательная к графику с осью абсцисс образуют острые углы, а значит, с ростом х возрастает и f(x). Если же f ‘ (x)<0, то касательная с осью абсцисс образуют тупой угол, а значит, с ростом х функция f(x) убывает. Поскольку эти рассуждения основаны лишь на наглядных геометрических представлениях, они не являются доказательством теоремы.

3.3. Критические точки функции, максимумы и минимумы.

Определение точек экстремума функции . Пусть х 0 – внутренняя точка из области определения функции f(x). Тогда, если существует такая δ – окрестность ] x 0 - δ, x 0 + δ [ точки х 0 , что для всех х из этой окрестности выполняется неравенство f(x)≤f(x 0) (неравенство f(x)≥f(x 0)), точка х 0 называется точкой максимума (точкой минимума) этой функции.

Точки максимума минимума являются внутренними точками области определения функции.

Необходимый признак существования экстремума дифференци-руемой функции .

Теорема Ферма.

Если х 0 есть точка экстремума функции f(x) и в этой точке производная существует, то она равна нулю: f ’(x 0)=0.

Эта теорема не является достаточным условием существование экстремума дифференцируемой функции: если в некоторой точке х 0 производная обращается в нуль, то из этого еще не следует, что в точке х 0 функция имеет экстремум.

Определение критических точек функции . Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции.

Достаточные условия существования экстремума .

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна в точке х 0 , f ‘(x)>0 на интервале и f ‘(x)<0 на интервале , то х 0 является точкой максимума функции f(x).

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна в точке х 0 , f ‘(x)<0 на интервале и f ‘(x)>0 на интервале , то х 0 является точкой минимума функции f(x).

Для отыскания экстремальных точек функции нужно найти ее критические точки и для каждой из них проверить выполнение достаточных условий экстремума.

3.4. Наибольшие и наименьшие значения функции.

Правила отыскания наибольшего и наименьшего значений функций в промежутке. Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой в некотором промежутке, нужно найти все критические точки, лежащие внутри промежутка, вычислить значения функции в этих точках и на концах промежутка и из всех полученных таким образом значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Глава IV. Примеры применения производной к исследованию функции.

Пример 11. Исследовать функцию y=x 3 +6x 2 +9x и построить график.

2) Определим вид функции:

y(-x)=(-x) 3 +6(-x) 2 +9(-x)=-x+6x 2 -9x функция общего вида.

x=0 или x 2 +6x+9=0

D=0, уравнение имеет один корень.

(0;0) и (-3;0) – точки пересечения с осью х.

y’=(x 3 +6x 2 +9x)’=3x 2 +12x+9

y’=0, т.е. 3x 2 +12x+9=0 сократим на 3

D>0, уравнение имеет 2 корня.

x 1,2 =(-b±√D)/2a, x 1 =(-4+2)/2 , x 2 =(-4-2)/2

0
-4

x=-4, y’=3*16-48+9=9>0

x=-2, y’=12-24+9=-3<0

x=0, y’=0+0+9=9>0

7) Найдем x min и x max:

8) Найдем экстремумы функции:

y min =y(-1)=-1+6-9=-4

y max =y(-3)=-27+54-27=0

9) Построим график функции:

10) Дополнительные точки:

y(-4)=-64+96-36=-4

Пример 12. Исследовать функцию y=x 2 /(x-2) и построить график

y=x 2 /(x-2)=x+2+4/(x-2)

Найдем асимптоты функции:

x≠ 2, x=2 – вертикальная асимптота

y=x+2 – наклонная асимптота, т.к.

Найдем область определения.

2)Определим вид функции.

y(-x)=(-x) 2 /(-x-2)=x 2 /(-x-2), функция общего вида.

3)Найдем точки пересечения с осями.

Oy: x=0, y=0 (0;0) – точка пересечения с осью y.

x=0 или x=2 (2;0) – точка пересечения с осью х

4) Найдем производную функции:

y’=(2x(x-2)-x 2)/(x-2) 2 =(2x 2 -4x-x 2)/(x-2) 2 =(x(x-4))/(x-2) 2 =(x 2 -4x)/(x-2) 2

5) Определим критические точки:

x 2 -4x=0 x(x-4)=0

y’=0, (x 2 -4x)/(x-2) 2 =0 <=> <=>

(x-2) 2 ≠ 0 x≠ 2

x 2 -4x=0, а (x-2) 2 ≠ 0, т.е. х≠ 2

6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции.

0 8

x=-1, y’=(1+4)/9=5/9>0

x=1, y’=(1-4)/1=-3<0

x=3, y’=(9-12)/1=-3<0

x=5, y’=(25-20)/9=5/9>0

7) Найдем точки минимума и максимума функции:

8) Найдем экстремумы функции:

y min =y(4)=16/2=8

9) Построим график функции:

10) Дополнительные точки:

y(-3)=9/-5=-1,8 y(3)=9/1=9

y(1)=1/-1=-1 y(6)=36/4=9

Пример 13. Исследовать функцию y=(6(x-1))/(x 2 +3) и построить график. 1) Найдем область определения функции:

2) Определим вид функции:

y(-x)=(6(-x-1))/(x 2 +3)=-(6(x+1))/(x 2 -3) – функция общего вида.

3) Найдем точки пересечения с осями:

O y: x=0, y=(6(0-1))/(0+3)=-2, (0;-2) – точка пересечения с осью y.

(6(x-1))/(x 2 +3)=0

O x: y=0, <=>

4) Найдем производную функции:

y’=(6(x-1)/(x 2 +3))’=6(x 2 +3-2x 2 +2x)/(x 2 +2) 2 =-6(x+1)(x-3)/(x 2 +3) 2

5) Определим критические точки:

y’=0, т.е. -6(x+1)(x-3)/(x 2 +3) 2 =0

y’=0, если х 1 =-1 или х 2 =3 , значит х=-1 и х=3, критические точки.

6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции:

-3 2

x=-2, y’=-6(-2+1)(-2-3)/(4+3) 2 =-30/49<0

x=0, y’=-6(0+1)(0-3)/(0+3) 2 =2>0

x=4, y’=-6(4+1)(4-3)/(16+3) 2 =-30/361<0

7) Найдем точки минимума и максимума:

8) Найдем экстремумы функции:

y min =y(-1)=(6(-1-1))/(1+3)=-12/4=-3

y max =y(3)=(6(3-1))/(9+3)=12/12=1

9) Построим график функции:

10) Дополнительные точки:

y(-3)=(6(-3-1))/(9+3)=-24/12=-2

y(6)=(6(6-1))/(36+3)=30/39=10/13≈ 0,77

Пример 14. Исследовать функцию y=xlnx и построить ее график:

1) Найдем область определения функции:

D(y)=R + (только положительные значения)

2) Определим вид функции:

y(-x)=-xlnx - общего вида.

3) Найдем точки пересечения с осями:

O y , но х≠ 0, значит точек пересечения с осью y нет.

O x: y=0, то есть xlnx=0

x=0 или lnx=0

(1;0) – точка пересечения с осью х

4) Найдем производную функции:

y’=x’ ln x + x(ln x)’=ln x +1

5) Определим критические точки:

y’=0, то есть lnx +1=0

y’=0 , если x=1/e , значит x=1/e– критическая точка.

6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции:

1/e

x=1/(2e); y’=log(2e) -1 +1=1-ln(2e)=1-ln e=-ln 2<0

x=2e; y’=ln(2e)+1=ln 2+ln e+1=ln 2+2>0

7) 1/e – точка минимума функции.

8) Найдем экстремумы функции:

y min =y(1/e)=1/e ln e -1 =-1/e (≈ -0,4).

9) Построим график функции:

Заключение.

Над этой темой работали многие ученые и философы. Много лет назад произошли эти термины: функция, график, исследование функции и до сих пор они сохранились, приобретая новые черты и признаки.

Я выбрала эту тему, потому что мне было очень интересно пройти этот путь исследования функции. Мне кажется, что многим было бы интересно побольше узнать о функции, о ее свойствах и преобразованиях. Сделав этот реферат, я систематизировала свои навыки пополнила свой запас знаний об этой теме.

Я хочу посоветовать всем глубже изучить эту тему.

Список литературы.

1. Башмаков, М.И. Алгебра и начало анализа.- М.: Просвещение, 1992.

2. Глейзер, Г.И. История математики в школе.- М.: Просвещение, 1983.

3. Гусев, В.А. Математика: Справочные материалы.- М.: Просвещение, 1888.

4. Дорофеев, Г.В. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.- М.: Наука, 1974.

5. Зорин, В.В. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.- М.: Высшая школа, 1980.

6. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа.- М.: Просвещение, 1993.

Цель урока: Научить проводить исследование функций; строить их графики.

Форма: урок-беседа.

Методы: диалог, наглядные пособия и слайды.

Оборудование: ИКТ, таблицы.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Учитель: - Ребята! У вас было домашнее задание "Критические точки функции, максимумы и минимумы". Дайте определение критической точки функции.

Ученик: - Критической точкой называется внутренняя точка области определения, в которой производная либо равна нулю, либо не существует.

Учитель: - Как найти критические точки?

Ученик: - 1

) Найти производную функции;

2) Решить уравнение: f "(x)=0. Корни этого уравнения являются критическими точками.

Учитель: - Найдите критические точки функций:

а) f(x)= 4 - 2x + 7x 2

б) f(x)= 4x - x 3 /3

а) 1) Найдем производную данной функции:

f "(x)= (4 - 2x + 7x 2)" = -2+14x

2) Решим уравнение f "(x)=0 <=> -2+14x =0 <=> x=1/7

3) Так как уравнение f "(x)=0 имеет один корень, то данная функция имеет одну критическую точку х = 1/7.

б) 1) Найдем производную данной функции: f "(x)= 4 - x 2

2) Решим уравнение: f "(x)=0 <=> 4 - x 2 = 0 <=> х = 2 или х = -2

3) Так как уравнение f "(x)=0 имеет два корня, то данная функция имеет две критические точки х 1 = 2 и х 2 = -2 .

II. Устная работа.

Учитель: - Ребята! Повторим основные вопросы, которые нужны для изучения новой темы. Для этого рассмотрим таблицы с рисунками (приложение 1 ).

Укажите точки, в которых возрастание функции сменяется убыванием. Как называются эти точки?

Ученик: - На рисунке а) - точка К-это точка максимума, на рисунке б) - точка М - это точка максимума.

Учитель: - Назовите точки минимума функции.

Ученик: - Точка К на рисунке в) и г) - точка минимума функции.

Учитель: - Какие точки могут быть точками экстремума функции?

Ученик: - Критические точки могут быть точками экстремума функции.

Учитель: - Какие необходимые условия вы знаете?

Ученик: - Существует теорема Ферма. Необходимое условие экстремума: Если точка х 0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f ", то она равна нулю: f "(x)=0.

Учитель: - Найдите критические точки для функции:

а) f(x) = | х |

б) f(x) = 2х + | х |

Ученик: - Рассмотрим функцию f(x) = | х | (приложение 2 ). Эта функция не имеет производной в 0. Значит, 0- критическая точка. Очевидно, что в точке 0 функция имеет минимум.

Ученик: - Рассмотрим функцию f(x) = 2х + | х | (приложение 3 ). По графику видно, что в точке 0 эта функция не имеет экстремума. В этой точке функция не имеет и производной.

В самом деле, если предположить, что функция f имеет в точке 0 производную, то f(х) - 2х также имеет производную в 0. Но f(х) - 2х = | х |, а функция | х | в точке 0 не дифференцируема, т.е. мы пришли к противоречию.

Значит, функция f в точке 0 производной не имеет.

Учитель: - Из теоремы Ферма следует, что при нахождении точек экстремума нужно найти критические точки. Но из рассмотренных примеров видно, что для того чтобы данная критическая точка была точкой экстремума нужно еще какое-то дополнительное условие.

Какие достаточные условия существования экстремума в точке вы знаете?

Ученик: - Признак максимума функции : Если функция f непрерывна в точке х 0 , а f "(x)>0 на интервале (а;х 0) и f "(x) <0 на интервале (х 0 ; в), то точка х 0 является точкой максимума функции f.

То есть если в точке х 0 производная меняет знак с плюса на минус, то х 0 есть точка максимума.

Ученик: - Признак минимума : Если функция f непрерывна в точке х 0 , а f "(x) <0 на интервале (а;х 0) и f "(x) >0 на интервале (х 0 ; в), то точка х 0 является точкой минимума функции f.

То есть если в точке х 0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х 0 есть точка минимума.

Учитель: - А какой алгоритм нахождения точек экстремума функции вы знаете.

Ученик объясняет алгоритм исследования функции f на экстремум с помощью производной (приложение 4 ) и находит точки экстремума функции:

f (х)= x 4 -2х 2

D (f) =IR и f непрерывна на всей числовой прямой, как целая рациональная функция.

2. f "(x) = 4x 3 -4х = 4х (х+1)(х-1).

3. f "(x)=0 <=> х= -1 V х=0 V х=1.

Рис.1 (знаки f ")

Так как f непрерывна в критических точках, то из рисунка 1 (приложение 5 ) видно, что -1 и 1 - точки минимума, а 0 - точка максимума функции f.

f min = f (-1) = f (1) = -1, f max = f (0) =0.

Учитель: - Ребята! Давайте вспомним алгоритм отыскания промежутков монотонности функции f.

Ученик вспоминает алгоритм отыскания промежутков монотонности функции f (приложение 6 ).

Учитель: - Найти промежутки возрастания и убывания функции f, заданной формулой

f (x)= x 3 -12х

Решение:

1. Так как f(x) - многочлен, то D (f) =IR.

2. Функция f дифференцируема на всей числовой прямой и f "(x)= 3x 2 -12 = 3 (х+2) (х-2).

3. Критическими точками функции f могут быть только нули f "(x).

f "(x) =0 <=> x = -2 V х=2.

D (f)\ {-2; 2}= (-; -2) U (-2 ; 2) U (2; +).

Рис.2 (знаки f ").

Найти области определения и значений данной функции f.

Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, то есть является ли функция f:

а) четной или нечетной;

б) периодической.

3. Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат.

4. Найти промежутки знакопостоянства функции f.

5. Выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает.

6. Найти точки экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f в этих точках.

7. Исследовать поведение функции f в окрестности характерных точек не входящих в область определения.

8. Построить график функции.

Эта схема имеет примерный характер.

Учитывая все сказанное, исследуем функцию: f(x)= 3x 5 -5х 3 +2 и построим ее график.

Проведем исследование по указанной схеме:

D (f ") =IR, так как f (x) - многочлен.

Функция f не является ни четной, ни нечетной, так как

f (-x)= 3(-x) 5 -5(-x) 3 +2 = -3x 5 +5х 3 +2= -(3x 5 -5х 3 -2) f(x)

Найдем координаты точек пересечения графика с осями координат:

а) с осью 0Х, для этого решим уравнение: 3x 5 -5х 3 +2 = 0.

Методом подбора можно найти один из корней (x = 1). Другие корни могут быть найдены только приближенно. Поэтому для данной функции остальные точки пересечения графика с осью абсцисс и промежутки знакопостоянства находить не будем.

б) с осью 0У: f(0)=2

Точка А (0; 2) - точка пересечения графика функции с осью 0У.

Отметили, что промежутки знакопостоянства не будем находить.

Найдем промежутки возрастания и убывания функции

а) f "(x)= 15x 4 -15х 2 = 15х 2 (х 2 -1)

D (f ") =IR, поэтому критических точек которых f "(x)не существует, нет.

б) f "(x) = 0, если х 2 (х 2 -1)=0 <=> x = -1 V x = 0 V x = 1.

в) Получим три критические точки, они разбивают координатную прямую на четыре промежутка. Определим знак производной на этих промежутках:

Рис.3 (знаки f ")

IV. Закрепление новой темы. Решение задач .

Учитель: - Исследуйте функцию и постройте ее график: f (x)= x 4 -2х 2 -3.

Ученик: - 1) D (f) =R.

2) f(-x)= (-x) 4 -2(-x) 2 -3 = x 4 -2х 2 -3; f(-x)= f(x),

значит, функция f является четной. Исследование ее можно проводить на промежутке функция возрастает от - до -4, поэтому на этом промежутке уравнение f (x)=0 корней не имеет.

б) На промежутке [-1; 2] уравнение так же не имеет корней, так как на этом промежутке функция убывает от -4 до -31.

в) На промежутке }