Исследование уравнений и неравенств с параметром заключение. Учебное пособие "уравнения и неравенства с параметрами"
Департамент образования Владимирской области
Управления образования Судогодского района
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Мошокская средняя общеобразовательная школа»
«
Решение
уравнений
и
неравенств
с
параметром
»
Разработала: Гаврилова Г.В.
учитель математики
моу «Мошокская средняя
общеобразовательная школа»
2009 год
Решение уравнений и неравенств с параметрами
Пояснительная записка
Понятие параметра является математическим понятием, которое часто используется в школьном курсе математики и в смежных дисциплинах.
7 класс - при изучении линейной функции и линейного уравнения с одной переменной.
8 класс – при изучении квадратных уравнений.
Общеобразовательная программа школьного курса математики не предусматривает решение задач с параметрами, а на вступительных экзаменах в вузы и на ЕГЭ по математике задачи с параметрами присутствуют, решение которых вызывает большие затруднения учащихся.Задачи с параметрами обладают диагностической и прогностической ценностью, которые позволяют проверить знания основных разделов школьного курса математики, уровень логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности.
Основная задача курса – познакомить учащихся с общими подходами решения заданий с параметрами, подготовить учащихся таким образом, чтобы они смогли в атмосфере конкурсного экзамена успешно справиться с задачами, содержащие параметры.
Решить уравнение, определить количество решений, исследовать уравнение, найти положительные корни, доказать, что неравенство не имеет решений и т.д.- все это варианты параметрических примеров. Поэтому невозможно дать универсальных указаний по решению примеров, в данном курсе рассматриваются различные примеры с решениями. Материал курса представлен по схеме: справочные сведения, примеры с решениями, примеры для самостоятельной работы, примеры для определения успешности усвоения материала.
Решение заданий с параметрами способствуют формированию навыков исследовательской деятельности, интеллектуальному развитию.
Цели курса:
Систематизировать знания учащихся, полученные в 7 и 8 классах, при решении линейных и квадратных уравнений и неравенств;
Выявить и развить их математические способности;
Создать целостное представление о решении линейных уравнений и неравенств, содержащих параметры;
Создать целостное представление о решении квадратных уравнений и неравенств, содержащих параметры;
Углубить знания по математике, предусматривающие формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету;
обеспечить подготовку к профессиональной деятельности, требующей высокой математической культуры.
Учебно-тематический план
№ п/п
|
Тема |
Кол-во часов
|
Виды деятельности |
1. |
|
|
Практикум |
2. |
Первоначальные сведения о задачах с параметром. |
Семинар |
|
3. |
Решение линейных уравнений, содержащих параметры. |
|
|
4. |
Решение линейных неравенств, содержащих параметры. |
Исследовательская работа; отработка навыков; самостоятельная работа. |
|
5. |
Квадратные уравнения. Теорема Виета. |
3 |
Исследовательская работа; отработка навыков; самостоятельная работа. |
6. |
Успешность усвоения курса |
1 |
Итоговая контрольная работа |
Тема 1.
Решение линейных уравнений и неравенств, квадратных уравнений и неравенств, решение задач на применение теоремы Виета.
Тема 2. Первоначальные сведения о задачах с параметром.
Понятие параметра. Что означает «решить задачу с параметром»? Основные типы задач с параметром. Основные способы решения задач с параметром.
Примеры решения линейных уравнений с параметром.
Тема 4. Решение линейных неравенств, содержащих параметры.
Примеры решения линейных неравенств с параметром.
Тема 5. Квадратные уравнения. Теорема Виета.
Примеры решения квадратных уравнений с параметром.
Дидактический материал к элективному курсу
«Решение уравнений и
неравенств с параметром»
Тема 1.
Примеры для этой темы.
Тема 2.
Примеры, где учащиеся уже встречались с параметрами:
Функция прямая пропорциональность: у = kx (х и у – переменные; k – параметр, k ≠ 0);
Функция обратной пропорциональности: у = k / х (х и у – переменные, k – параметр, k ≠ 0)
Линейная функция: у = kх + b (х и у – переменные; k и b – параметры);
Линейное уравнение: ах + b = 0 (х – переменная; а и b – параметры);
Квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0 (х – переменная; а, b и c – параметры,
Что такое параметр?
Если в уравнение или неравенство некоторые коэффициенты заменены не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение или неравенство параметрическим.
Параметры обычно обозначаются первыми буквами латинского алфавита: а, в, с, … или а 1 , а 2 , а 3 , … , а неизвестные последними буквами латинского алфавита х, у, z, … Эти обозначения не являются обязательными, но если в условии не указано, какие буквы являются параметрами, а какие – неизвестны-
ми, то используются такие обозначения.
Например, решить уравнение (4х – ах)а = 6х – 10 . Здесь х – неизвестное, а – параметр.
Что означает «решить задачу с параметром»?
Решить задачу с параметром – значит, для каждого значения параметра а найти значение х, удовлетворяющие этой задаче, т.е. это зависит от вопроса в задаче.
Решить уравнение или неравенство с параметрами означает:
Определить, при каких значениях параметров существует решения;
Для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.
Какие основные типы задач с параметром?
Тип 1.
Уравнения, неравенства, которые необходимо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговорённому множеству. Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами».
Тип 2. Уравнения, неравенства, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.
Тип 3. Уравнения, неравенства, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения и неравенства имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений). Задачи типа 3 в каком-то смысле обратные задачам типа 2.
Тип 4. Уравнения, неравенства, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.
Например, найти значения параметра, при которых:
1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решения второго уравнения и т.д.
Основные способы решения задач с параметром.
Способ 1. (аналитический) Этот способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные способы нахождения ответа в задачах без параметра.
Способ 2. (графический) В зависимости от задачи рассматриваются графики в координатной плоскости (х;у), или в координатной плоскости (х;а).
Способ 3. (решение относительно параметра) При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признаётся более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных х и а и заканчиваем решение.
Замечание. Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор раннее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.
Рассмотрим примеры. 2.1. Сравнить -а и 5а.
Решение. Надо рассмотреть три случая: если а 5а;
если а = 0, то –а = 5а;
если а > 0, то –а
Ответ. При а 5а; при а = 0 , –а = 5а; при а > 0, -а
Решить уравнение ах = 1.
Если а ≠ 0, то х = 1 / а.
Ответ. При а = 0 нет решений; при а ≠ 0, х = 1 / а.
Сравнить с и – 7с.
Решить уравнение сх = 10
Тема 3.
Линейные уравнения
Уравнения вида
где а, в – принадлежат множеству действительных чисел, а х – неизвестное, называется линейным уравнением относительно х.
Схема исследования линейного уравнения (1).
1.Если а ≠ 0, в – любое действительное число. Уравнение имеет единственное решение х = в/а.
2. Если а=0, в=0, то уравнение примет вид 0 ∙ х = 0, решением уравнения будет множество всех действительных чисел.
3. Если а=0, в ≠ 0, то уравнение 0 ∙ х = в не имеет решений.
Замечание. Если линейное уравнение не представлено в виде (1), то сначала нужно привести его к виду (1) и только после этого проводить исследование.
Примеры. 3.1 Решить уравнение (а -3)х = в+2а
Уравнение записано в виде (1).
Решение: Если а≠ 3, то уравнение имеет решение х = в+2а/ а-3 при любом в.
Значит единственное значение а, при котором могут отсутствовать решения уравнения, это а=3. В этом случае уравнение (а -3)х = в+2а принимает вид
0 ∙ х = в+6. (2)
Если в≠ - 6, то уравнение (2) не имеет решений.
Если в = - 6, то любое х является решением (2).
Следовательно, в = - 6 единственное значение параметра в, при котором уравнение (1) имеет решение при любом а (х=2 при а ≠3 и х принадлежит множеству действительных чисел при а=3).
Ответ: в = -6.
3.2. Решить уравнение 3(х-2а) = 4(1-х).
3.3. Решить уравнение 3/kx-12=1/3x-k
3.4. Решить уравнение (a 2 -1)x = a 2 – a -2
3.5. Решить уравнение х 2 + (2а +4)х +8а+1=0
Самостоятельная работа.
Вариант 1. Решить уравнения: а) вх + 2 = - 1;
б) (а – 1)х = а – 2;
в) (а 2 – 1)х – а 2 + 2а – 1 = 0.
Вариант 2. Решить уравнения: а) – 8 = вх + 1;
б) (а + 1)х = а – 1;
в) (9а 2 – 4)х – 9а 2 + 12а – 4 = 0.
Тема 4.
Линейные неравенства с параметром
Неравенства
ах > в, ах
где а, в – выражения, зависящие от параметров, а х – неизвестное,
называются линейными неравенствами с параметрами.
Решить неравенство с параметрами – значит для всех значений параметров найти множество решений неравенства.
Схема решения неравенства а х > в.
Если а > 0, то х > в/а.
Если а
Если а = 0, то неравенство примет вид 0 ∙ х > в. При в ≥ 0 неравенство не имеет решений; при в
Примеры. 4.1. Решить неравенство а(3х-1)>3х – 2.
Решение: а(3х-1)>3х – 2, значит 3х(а-1)> а-2.
Рассмотрим три случая.
а=1, решением 0 ∙ х > -1 является любое действительное число.
а>1, 3х(а-1)> а-2, значит х > а-2/3 (а-1).
а а-2, значит х
2ах +5 > a+10x .
(а + 1)х – 3а + 1 ≤ 0.
Х 2 +ах +1 > 0 .
Самостоятельная работа.
Вариант 1. Решить неравенства: а) (а – 1)х ≤ а 2 – 1;
б) 3х-а > ах – 2.
Вариант 2. Решить неравенства: а) (а – 1)х – 2а +3 ≥ 0;
б) ах-2в
Тема 5.
Квадратные уравнения, содержащие параметры. Теорема Виета.
Уравнение вида
ах 2 +вх + с = 0, (1)
где а,в,с – выражения, зависящие от параметров, а ≠ 0, х – неизвестное, называется квадратным уравнением с параметрами.
Схема исследования квадратного уравнения (1).
Если а = 0, то имеем линейное уравнение вх +с = 0.
Если а ≠ 0 и дискриминант уравнения D = в 2 – 4ас
Если а ≠ 0 и D = 0, то уравнение имеет единственное решение х = - в/ 2а или как еще говорят, совпадающие корни х 1 = х 2 = - В / 2а.
Если а ≠ 0 и D > 0, то уравнение имеет два различных корня х 1,2 = (- В ± √D) / 2а
Примеры. 5.1. Для всех значений параметра а решить уравнение
(а – 1)х 2 – 2ах + а + 2 = 0.
Решение. 1. а – 1 = 0, т.е. а = 1.Тогда уравнение примет вид -2х + 3 = 0, х = 3 / 2 .
2. а ≠ 1. Найдём дискриминант уравнения D = 4а 2 – 4(а – 1)(а + 2) = - 4а + 8.
Возможны случаи: а) D 8, а > 2. Уравнение не имеет
б) D = 0, т.е. -4а + 8 = 0, 4а = 8, а = 2. Уравнение имеет один
корень х = а / (а – 1) = 2 / (2 – 1) = 2.
в) D > 0, т.е. -4а + 8 > 0, 4а
корня х 1,2 = (2а ± √ -4а + 8) / 2(а – 1) = (а ± √ 2 – а) / (а – 1)
Ответ. При а = 1 х = 3 / 2 ;
при а =2 х = 2;
при а >2 нет корней;
Для всех значений параметра решить уравнения:
ах 2 + 3ах – а – 2 = 0;
ах 2 +6х – 6 = 0;
вх 2 – (в + 1)х +1 = 0;
(в + 1)х 2 – 2х + 1 – в = 0.
Самостоятельная работа.
Вариант 1. Решить уравнение ах 2 - (а+3)х + 3 = 0.
Вариант 2. Решить уравнение а 2 +(а+1)х + 2а-4 = 0.
Задачи.
. Найдите все значения параметра а, для которых квадратное уравнение
Решение. Данное уравнение по условию является квадратным, значит,
а – 1 ≠ 0, т.е. а ≠ 1. Найдём дискриминант D = 4(2а + 1) 2 – 4(а – 1)(4а +3) =
4(4а 2 + 4а + 1 – 4а 2 + а + 3) = 4(5а + 4).
Имеем: 1) При а ≠ 1 и D > 0, т.е. 4(5а + 4) > 0, а > - 4 / 5 уравнение имеет два
различных корня.
2) При а ≠ 1 и D
3) При а ≠ 1 и D = 0, т.е. а = - 4 / 5 уравнение имеет один корень.
Ответ. Если а > - 4 / 5 и а ≠ 1, то уравнение имеет два различных корня;
если а = - 4 / 5 , то уравнение имеет один корень.
.При каких значениях параметра а уравнение (а + 6)х 2 + 2ах +1 = 0 имеет единственное решение?
.При каких значениях параметра а уравнение (а 2 – а – 2)х 2 + (а +1)х + 1 = 0 не имеет решений?
.При каких значениях параметра а уравнение ах 2 - (2а+3)х+а+5=0 имеет два различных корня?
Самостоятельная работа.
Вариант 1. Найдите все значения параметра а , для которых квадратное уравнение (2а – 1)х 2 +2х – 1 = 0 имеет два различных корня; не имеет корней; имеет один корень.
Вариант 2.
. Найдите все значения параметра а, для которых квадратное уравнение (1 – а
)х
2 +4х
– 3 = 0 имеет два различных корня; не имеет корней; имеет один корень.
Теорема Виета.
При решении многих задач, связанных с квадратными уравнениями, содержащими параметры, используются следующие теоремы.
Теорема Виета.
Если х 1 , х 2 – корни квадратного уравнения ах 2 + вх +с = 0, а≠0, то х 1 + х 2 = - В /а и х 1 ∙ х 2 = С /а.
Теорема 1.
Для того, чтобы корни квадратного трёхчлена ах 2 +вх +с были действительны и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: D = в 2 – 4ас ≥ 0, х 1 ∙ х 2 = С / А > 0.
При этом оба корня будут положительны, если х 1 + х 2 = - В /а > 0, и оба корня будут отрицательны, если х 1 + х 2 = - В /а
Теорема 2.
Для того, чтобы корни квадратного трёхчлена ах 2 + вх + с были действительны и оба неотрицательны или оба неположительные, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: D = в 2 – 4ас ≥ 0, х 1 ∙ х 2 = С /а≥ 0.
При этом оба корня будут неотрицательны, если х 1 + х 2 = - В /а ≥ 0, и оба корня будут неположительные, если х 1 + х 2 = - В /а ≤ 0.
Теорема 3. Для того, чтобы корни квадратного трёхчлена ах 2 + вх + с были действительны и имели разные знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих условия: х 1 ∙ х 2 = С /аПри этом условие D = в 2 – 4ас > 0 выполняется автоматически.
Примечание. Эти теоремы играют важную роль при решении задач, связанных с исследованием знаков корней уравнения ах 2 + вх + с = 0.
Полезные равенства: х 1 2 + х 2 2 = (х 1 + х 2) 2 – 2х 1 х 2 , (1)
х 1 3 + х 2 3 = (х 1 + х 2)(х 1 2 – х 1 х 2 + х 2 2) = (х 1 + х 2)((х 1 + х 2) 2 – 3х 1 х 2), (2)
(х 1 - х 2) 2 = (х 1 + х 2) 2 – 4х 1 х 2 , (3)
(5)
5.10.
(а – 1)х 2 – 2ах + а +1 = 0 имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?
Решение. Уравнение квадратное, значит, а ≠ 1. По теореме Виета имеем
х 1 + х 2 = 2а /(а – 1) , х 1 х 2 = (а + 1) / (а – 1) .
Вычислим дискриминант D = 4а 2 – 4(а – 1)(а + 1) = 4.
а) Согласно теоремы 1 уравнение имеет положительные корни, если
D ≥ 0, х 1 х 2 > 0, х 1 + х 2 > 0, т.е. (а + 1) / (а – 1) > 0 , 2а / (а – 1) > 0.
Отсюда а є (-1; 0).
б) Согласно теоремы 1 уравнение имеет отрицательные корни, если
D ≥ 0, х 1 х 2 > 0, х 1 + х 2 0 , 2а / (а – 1)
Отсюда а є (0; 1).
в) Согласно теоремы 3 уравнение имеет корни разных знаков, если х 1 х 2
(а + 1) /(а – 1) Ответ. а) при а є (-1; 0) уравнение имеет положительные корни;
б) при а є (0; 1) уравнение имеет отрицательные корни;
в) при а є (-1; 1) уравнение имеет корни разных знаков.
5.11.
При каких значениях параметра а квадратное уравнение
(а – 1)х 2 – 2(а +1)х + а +3 = 0 имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?
5. 12. Не решая уравнения 3х 2 – (в + 1)х – 3в 2 +0, найдите х 1 -1 + х 2 -1 , где х 1 , х 2 – корни уравнения.
5.13. При каких значениях параметра а уравнение х 2 – 2(а + 1)х + а 2 = 0 имеет корни, сумма квадратов которых равна 4.
Контрольная работа.
Вариант 1. 1. Решить уравнение (а 2 +4а)х = 2а + 8.
2. Решить неравенство (в + 1)х ≥ (в 2 – 1).
3. При каких значениях параметра а уравнение
х 2 – (2а +1)х + а 2 + а – 6 = 0 имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?
Вариант 2. 1. Решить уравнение (а 2 – 2а)х = 3а.
2. Решить неравенство (а + 2)х ≤ а 2 – 4.
3. При каких значениях параметра в уравнение
х 2 – (2в – 1)х + в 2 – т – 2 = 0 имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?
Литература.
В.В. Мочалов, В.В. Сильвестров. Уравнения и неравенства с параметрами. Ч.:Изд-во ЧГУ, 2004. – 175с.
Ястребинский Г.А. Задачи с параметрами. М.: Просвещение, 1986, - 128 с.
Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 – 11 классов среднй школы. М.: Просвещение, 1991. – 351 с.
Т. Пескова. Первое знакомство с параметрами в уравнениях. Учебно-методическая газета «Математика». №36, 1999.
Т. Косякова. Решение линейных и квадратных неравенств, содержащих параметры. 9 кл. Учебно-методическая газета «Математика».№ 25 – 26, № 27 – 28. 2004.
Т. Горшенина. Задачи с параметром. 8 кл. Учебно-методическая газета «Математика». №16. 2004.
Ш. Цыганов. Квадратные трёхчлены и параметры. Учебно-методическая газета «Математика». №5. 1999.
С. Неделяева. Особенности решения задач с параметром. Учебно-методическая газета «Математика». №34. 1999.
Урок по элективному курсу
по теме: «Решение уравнений и неравенств с параметрами»
(Урок обобщения и повторения)
Цель: 1.Повторить и обобщить знания учащихся методов решения уравнений и неравенств с параметрами; закрепить умения применять знания при решении конкретных заданий; 2. Развивать логическое мышление; 3.Воспитывать внимание и аккуратность.
План урок: I. Организационный момент_________________________2 мин.
II. Актуализация опорных знаний:
- Повторение__________________________________3 мин.
- Устная работа________________________________3 мин.
- Работа по карточкам (во время 1 и 2)
III. Решение упражнений___________________________22 мин.
IY. Выполнение теста______________________________8 мин.
Y. Подведение итогов, постановка домашнего задания__2 мин.
Х о д у р о к а:
I. Организационный момент .
Учитель: - Здравствуйте, ребята. Приятно вас всех видеть, мы начинаем наш урок. Сегодня на уроке наша цель - повторить и отработать знания, умения и навыки, полученные на прошлых уроках при изучении данной темы.
II . Актуализация опорных знаний:
1) Повторение.
Учитель: - Итак, повторим.
Что называется линейным уравнением с параметрами?
Какие случаи мы рассматривали при решении таких уравнений?
Приведите примеры линейных уравнений с параметрами.
Приведите примеры линейных неравенств с параметрами.
2) Устная работа.
Задание: Приведите данное уравнение к линейному виду.
На доске:
а) 3а х – 1 =2 х ;
б) 2+5 х = 5а х ;
в) 2 х – 4 = а х + 1.
3) Работа по карточкам.
III . Решение упражнений.
Задание 1. Решить уравнение с параметром а.
3(ах + 1) + 1 = 2(а – х) + 1.
Задание выполняется на доске и в тетрадях.
Задание 2. При каком значении а, прямая у = 7ах + 9, проходит через
т. А(-3;2) ?
Задание выполняется самостоятельно у доски одним учеником. Остальные работают в тетрадях, затем сверяются с доской.
Физкульт. минутка.
Задание 3. При каком значении а, уравнение 3(ах – а) = х – 1 имеет
Бесконечно много решений?
Данное задание предлагается решить самостоятельно учащимся в тетрадях. Затем проверить ответы.
Задание 4. При каком значении параметра а , сумма корней уравнения
2х² + (4а² - 2)х – (а² + 1) = 0 равна 1?
Задание выполняется комментированием с места.
Задание 5. Решите неравенство с параметром р :
р(5х – 2)
Данное задание выполняется у доски и в тетрадях.
IY. Выполнение теста.
Учащимся выдаются индивидуальные листы с заданиями:
1) Является ли уравнение 6(ах + 1) + а = 3(а – х) + 7 линейным?
А) да; б) нет; в) можно привести к линейному
2) Уравнение (2ах + 1)а = 5а – 1 приведено к виду линейного уравнения
А) нет; б) да;
3) При каком значении параметра а прямая у = ах – 3 проходит через
Т. А(-2;9) ?
А) а = 1/6; б) а = 1/2; в) а = -6; г) а = 6.
4) При каком а уравнение 2ах + 1 = х имеет корень, равный -1?
а) а = -1; б) а = 0; в) а = 1; г) а = 1/2.
5) Если у квадратного уравнения ах² + вх + с = 0 Д ах² + вх + с >0 зависит от
А) значения в ; б) значения а ; в) значения -в/а ;
г) не имеет решений.
О т в е т ы к т е с т у: в; а; в; в; б.
YII. Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания.
Учитель: - Сегодня на уроке мы повторили и закрепили знания, полученные на прошлых уроках, отработали необходимые умения при выполнении различных заданий. Я думаю, что вы поработали хорошо, молодцы.
Кроме поставленных за урок оценок, можно оценить работу на уроке еще ряда учащихся.
Учитель : - Запишите домашнее задание:
На доске:
Решить неравенство: х² - 2ах + 4 > 0.
Урок окончен.
Курсовая работа
Исполнитель: Бугров С К.
Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.
Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.
В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.
Неравенство
¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x), (1)
где a, b, c, …, k – параметры, а x – действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.
Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, при некоторой функции
¦(a, b, c, …, k, x) и
j(a, b, c, …, k, x
имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.
называется допустимым значением х, если
¦(a, b, c, …, k, x) и
j(a, b, c, …, k, x
принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.
Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).
Действительное число х0 называется частным решением неравенства (1), если неравенство
¦(a, b, c, …, k, x0)>j(a, b, c, …, k, x0)
верно при любой системе допустимых значений параметров.
Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.
Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.
Два неравенства
¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x) и (1)
z(a, b, c, …, k, x)>y(a, b, c, …, k, x) (2)
называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.
Находим область определения данного неравенства.
Сводим неравенство к уравнению.
Выражаем а как функцию от х.
В системе координат хОа строим графики функций а =¦ (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.
Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.
Исследуем влияние параметра на результат.
найдём абсциссы точек пересечения графиков.
зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от -¥ до+¥
Записываем ответ.
Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy.
§3. Примеры
I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство
В области определения параметра а, определённого системой неравенств
данное неравенство равносильно системе неравенств
Если , то решения исходного неравенства заполняют отрезок .
II. При каких значениях параметра а имеет решение система
Найдем корни трехчлена левой части неравенства –
(*)
Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен
сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихован
ной области с окружностью, где , а значения и находятся из системы
а значения и находятся из системы
Решая эти системы, получаем, что
III. Решить неравенство на в зависимости от значений параметра а.
Находим область допустимых значений –
Построим график функции в системе координат хОу.
при неравенство решений не имеет.
при для решение х удовлетворяет соотношению , где
Ответ: Решения неравенства существуют при
Где , причем при решения ; при решения .
IV. Решить неравенство
Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)
Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству:
Разложим числитель на множители.
т. к. то
Разделим обе части равенства на при . Но является решением: левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при .
3. Строим в ПСК хОа графики функций
и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять областей.
4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем точку из области и подставляем в неравенство.
Для наглядности составим таблицу.
неравенство: |
|||
5. Найдем точки пересечения графиков
6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от -¥ до +¥.
при
при решений нет
при
Список литературы
Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996 г.
Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.
Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.
Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г.
Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”. Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.
Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука” физико–математическая литература. Москва 1977 г.
Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Москва 1996 г.
Муниципальное автономное общеобразовательное учереждение «Лицей №1» г. Новтроицка
Исследовательская работа
Методы решения уравнений и неравенств с параметром
Математическое моделирование
Выполнил:
ученик 11 А класса МОАУ
«Лицей №1»
Руководитель:
учитель высшей
Новотроицк
Введение. 3
Параметр. 5
Методы решения тригонометрических уравнений с параметром. 9
Методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств с параметром. 17
Методы решения систем уравнений и неравенств. 22
Заключение. 31
Список используемой литературы.. 32
Введение
Уравнения с параметром вызывают большие затруднения у учащихся 9-11 классов. Это связано с тем, что решение таких уравнений требует не только знания свойств функций и уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, но также высокой логической культуры и техники исследования.
Трудности при изучении данного вида уравнений связаны со следующими их особенностями:
· обилие формул и методов, используемых при решении уравнений данного вида;
· возможность решения одного и того же уравнения, содержащего параметр, различными способами.
Актуальность темы обуславливается недостаточным содержанием задач по данной теме в учебнике «Алгебра 11 класс ».
Важность данной темы определяется необходимостью уметь решать такие уравнения с параметрами как и при сдачи Единого Государственного экзамена, так и при вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.
Объект исследования : задачи с параметрами.
Цель данной работы :
Выявить, обосновать и наглядно показать способы решения всех типов уравнений с параметрами;
Решить уравнения с параметрами;
Углубить теоретические знания по решению уравнений с параметрами;
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1. Дать определения понятиям уравнение с параметрами;
2. Показать способы решения уравнений с параметрами.
Достоинство моей работы заключается в следующем: указываются алгоритмы решения уравнений с параметрами; задачи часто встречаются на различных экзаменах и олимпиадах. Работа поможет ученикам сдать Единый Государственный Экзамен.
Мои действия:
1. Подобрать и изучить литературу;
2. Решить подобранные задачи;
Параметр
Имеется несколько определений параметра:
- Параметр – это величина, входящая в формулы и выражения, значение которой является постоянным в пределах рассматриваемой задачи, но в другой задаче меняет свои значения (, - «Толковый словарь математических терминов»).
- Переменныеa , b , c , …, k , которые при решении уравнения или неравенства считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение (неравенство) называется уравнением (неравенством), содержащим параметры (– «Репетитор по математике», Ростов-на-Дону «Феникс» 1997).
Решение большинства уравнений, содержащих параметр, сводится к квадратным уравнениям с параметром . Следовательно, чтобы научиться решать показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и системы уравнений с параметром, нужно сначала приобрести навыки решения квадратных уравнений с параметром .
Уравнение вида ax 2 + bx + c =0 , где х – неизвестная, a, b, c – выражения, зависящие только от параметров, а¹0, называется квадратным уравнением относительно х. Допустимыми будем считать только те значения параметров, при которых a, b, c действительны.
Контрольные значения параметра
Для решения квадратных уравнений с параметром необходимо находить контрольные значения параметра.
Контрольные значения параметра – те значения, при которых обращается в 0:
Старший коэффициент в уравнении или в неравенстве;
Знаменатели в дроби;
Дискриминант квадратного двучлена.
Общая схема решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям с параметром.
Общая схема решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям с параметром:
1. Указать и исключить все значения параметра и переменной, при которых уравнение теряет смысл.
2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель, не равный нулю.
3. Преобразовать уравнение-следствие к виду https://pandia.ru/text/80/147/images/image002_13.png" width="128" height="24 src="> - действительные числа или функции от параметра.
4. Решить полученное уравнение, рассмотрев случаи:
а) ; б) https://pandia.ru/text/80/147/images/image005_6.png" width="19" height="27">.png" width="21" height="27">.png" height="75">х=2b+1
Так как х должен лежать на промежутке от 1 до 6, то:
1) 1<2b+1<6
2) 1<2b – 1<6
https://pandia.ru/text/80/147/images/image009_4.png" width="47" height="41 src=">=2b+1
1) 1<2b+1<6
2) 1<2b – 1<6
https://pandia.ru/text/80/147/images/image010_2.png" width="18 height=98" height="98">
у(1)>0 у=1-4b+4b2– 1>0
у(6)> 0 у=36-24b+4b2– 1>0
хвÎ(1; 6) 1<-<6
bÎ(-∞; 0) È (1; +∞).
2) 4b2-24b+35>0
D=576 – 560=16=42>0
b1=https://pandia.ru/text/80/147/images/image016_2.png" width="47" height="41 src=">=2,5 bÎ(0,5; 3)
bÎ(-∞;2,5)È(3,5;+∞)
bÎ(1; 2,5)
Ответ: корни уравнения х2-4bх+4b2–1=0 лежат на промежутке от
Класс: 11
Цели:
Образовательная:
- систематизировать и обобщить знания о решении уравнения с параметром;
- показать основные приемы решения таких уравнений.
Развивающая: расширить и углубить изучение различных приемов решения уравнений с параметром.
Воспитательная: показать значимость зависимости ответа в задаче с параметром от выбранного значения параметра.
Используемые методы обучения – их применение .
- Объяснительно-иллюстративный.
- Обобщения, аналогии и сравнения.
- УДЕ – создание ключевых задач, аналогия изображений на плоскости.
- Интегрированный – сопоставление алгебры и геометрические интерпретации, слайды.
Формирование общеучебных умений и навыков:
- Выделение существенных признаков изучаемых объектов;
- Выработка практических навыков;
- Используемые методы работы с аудиторией: работа в диалоговом режиме;
- Психологические аспекты урока;
- Создание комфортной рабочей атмосферы;
- Побуждение к активной диалоговой деятельности.
Ход урока
Введение . Вступительное слово учителя .
Уравнения стали привычной частью вариантов вступительных экзаменов ЕГЭ.
Уравнения с параметром вызывают серьезные трудности логического характера.
Каждое такое уравнение – это, по существу, краткая запись семейства уравнений. Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства невозможно, но тем не менее каждое из них должно быть решено. Поэтому возникает необходимость в рассмотрении системы понятий и поиске методов решения уравнений с параметрами (линейных, рациональных и т.д.)
Пусть дано уравнение F(х;а) = 0. Если придать параметру а какое – либо фиксированное значение, то данное уравнение можно рассматривать как «обычное» уравнение с одной переменной.
Поставим задачу : Выяснить, какой может быть ситуация при выбранном значении параметра?
Работа с учащимися в диалоговом режиме.
Обозначим основные проблемы:
- Установить основные понятия уравнений с параметрами.
- Для каждого вида уравнений школьного курса математики установить общий метод решения соответствующих уравнений с параметрами – единый как для одного, так и для двух параметров.
- Рассмотреть примеры заданий на исследование уравнений.
- Каково установление числа корней уравнений.
- Нахождение общего корня двух уравнений – в чем его суть?
- Геометрические интерпретации.
I этап – решение первой проблемы .
Работа с учащимися в диалоговом режиме .
Какие вопросы вы себе определите для установления основных понятий?
|
Появляется слайд и конспект
В задачах II типа требуется найти все значения параметра, при которых выполнены те или иные заданные условия. |
Например.
1) Решить уравнение а (а – 1) = а – 1.
Решение . Перед нами линейное уравнение, имеющее смысл при всех допустимых значениях а. Будем решать его «как обычно»: делим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном. Но всегда ли возможно деление?
Делить на ноль нельзя. Придется рассмотреть отдельно случай, когда коэффициент при неизвестном равен о. Получим:
Ответ: 1) если а 0, а 1, то х = ;
2) если а = 1, то х – любое число;
3) если а = 0, то корней нет.
2) Решить уравнение (а – 1)х 2 + 2 (2а – 1)х + 4 а + 3 = 0.
Решение . Рассмотрим два случая:
Рассмотрим дискриминант: D = (2а – 1) 2 – (а – 1)(4а + 3) = - 3а + 4.
Если же а , то х 1,2 = .
Ответ: 1) если а > , то корней нет;
2) если а = 1, то х = - 3,5;
3) если а и а1, то х 1,2 = .
II этап – решение второй проблемы .
Рассмотрим способ классификации частных уравнений с помощью модели общих решений.
Появляется слайд.
Например. В рациональном уравнении функция f 1 (а) = является общим решением для тех значений параметра, для которых . Поскольку
общее решение уравнения на А f1 = }.
Функция f 2 (а) = есть общее решение уравнения на множестве А f2 = .
Построим модель общих решений в следующем виде
На модели выделяем все типы частных уравнений: ; ; .
Итак, на примерах рассмотрены основные понятия уравнений с параметрами: область допустимых значений; область определения; общие решения; контрольные значения параметров; типы частных уравнений.
На базе введенных параметров определим общую схему решения всякого уравнения F(а;х) = 0 с параметром а (для случая двух параметров схема аналогична):
- устанавливается область допустимых значений параметра и область определения;
- определяются контрольные значения параметра, разбивающие область допустимых значений параметра на области однотипности частных уравнений;
- для контрольных значений параметра соответствующие частные уравнения исследуются отдельно;
- находятся общие решения х = f 1 (а), …, f k (а) уравнения F(а;х) =0 на соответствующих множествах А f1 , ……, А fk значений параметра;
- составляется модель общих решений, контрольных значений параметра в следующем виде (на слайде);
- на модели выделяются промежутки значений параметра с одинаковыми решениями (области однотипности);
- для контрольных значений параметра и выделенных областей однотипности записываются характеристики всех типов частных решений.
III этап – примеры заданий на исследование уравнений.
Рассмотрим примеры решения задач с параметрами 2 типа.
Особенно часто встречаются задачи на расположение корней квадратного уравнения. При их решении хорошо «работают» графические иллюстрации. Расположение корней относительно заданных точек плоскостью определяется направлением ветвей соответствующей параболы, координатами вершины, а также значениями в заданных точках.
Например.
1) При каких значениях параметра а уравнение (а 2 + а + 1)х 2 + (2а – 3)х + а – 5 = 0 имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1?
Решение . Пусть f(х) = (а 2 + а + 1)х 2 + (2а – 3)х + а – 5. Так как а 2 + а + 1 >0, то для квадратичной функции f(х) условие задачи может выполняться только при условии f (х) < 1.
Решая неравенство f(1) = а 2 + 4а – 7 < 0, получим, что -2 - < а < - 2 + .
Ответ : -2 - < а < - 2 + .
2) При каких значениях параметра m корни уравнения (m – 1)х 2 – 2 mх + m + 3 = 0 положительны?
Решение . Пусть f(х) = (m-1)х 2 - 2 mх + m + 3 тогда:
1) если, m = 1,то -2х + 4=0, х= 2- корень положителен;
2) если m 1, то с помощью рисунка можно получить следующие соотношения:
Рассмотрим 2 случая:
1) если 1,5 m > 0, тогда из 2 и 3 неравенств последней системы получим, что m > 1, т.е. окончательно 1,5 m > 1;
2) если m < 0, тогда из неравенства (m-1)m > 0 получим, что m-1 < 0, откуда m + 3 < 0, т.е. окончательно m < -3.
Ответ : m (-; -3)
IV этап - рассмотрим задачи на установления числа корней уравнения.
Пример 1. При каких значениях параметра, а уравнение 2 cos 2 x – (2а + 9)cosx + 9а = 0 не имеет корней.
Решение. Пусть у = cosх, тогда исходное уравнение примет вид 2у 2 – (2 а + 9)у + 9а = 0, корни которого у 1 = а, у 2 = 4,5. Уравнение cosх = 4,5 корней не имеет, а уравнение cosх = а не имеет корней, если > 1.
Ответ : (- ; -1) (1; ).
Пример 2 . Найдите все значения параметра а, при которых уравнение не имеет корней.
Решение . Данное уравнение равносильно системе: .
Уравнение не имеет решения в двух случаях: а = и
Пример 3 . При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?
Решение . Решение уравнения может быть единственным только, если х = 0. Если х = 0,то а 2 -1 = 0, и а = 1.
Рассмотрим 2 случая:
1) если а = 1, то х 2 - = 0 – корней три;
2). Если а = -1, то то х 2 + = 0, х = 0 - единственный корень.
Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение имеет 2 корня?
Решение. Данное уравнение равносильно системе: . Выясним, когда квадратное уравнение х 2 – х – а = 0 имеет 2 неотрицательных корня.
Полученное уравнение имеет два корня, если 1+ 4а > 0; они неотрицательны, если
0 > а > - .
Ответ : (- ; 0] .
Во многих случаях при установлении числа корней уравнении имеет значение симметрия.
V этап - нахождение общего корня двух уравнений.
Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение х 2 + 3х + 7а -21 =0 и х 2 +6х +5а -6 =0 имеют общий корень?
Решение. Исключим параметр а из полученной системы. Для этого первое уравнение умножим на -5, второе - на7, а результаты сложим. Получим: 2х 2 + 27х +63 =0, корни которого х 1 = -3, х 2 = -10,5. Подставим корни в одно из уравнений и найдем значение параметра а.
Ответ : 3 и – 8,25.
Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение х 2 – ах + 2 = 0 и 3х 2 + (а - 9)х+ 3=0 равносильны?
Решение . Как известно уравнения равносильны, если множество их корней совпадают. Рассмотрим 2 случая.
1) Уравнения не имеют корней (множество корней пусто). Тогда их дискриминанты отрицательны:
Система неравенств решений не имеет.
2) Уравнения имеют общие корни. Тогда
Следовательно, данные уравнения могут иметь общие корни только при а = 3 или а = .
Проверить самостоятельно!
VI этап – геометрические интерпретации.
Решение задач с параметрами может существенно облегчить использование графиков.
Пример 1 . Решите уравнение в зависимости от параметра а: .
Решение. Понятно что при а 0:
Все ли корни подходят. Чтобы это выяснить, построим график функции а =.
Количество корней можно увидеть на рисунке:
- если а < 0, то корней нет;
- если а = 0 и а > 0, то 2 корня.
Найдем эти корни.
При а = 0 получим х 2 – 2х – 3 = 0 и х 1 = -1, х 2 = 3; при а > 4 это корни уравнения х 2 – 2х – 3 – а = 0.
Если 0 < а < 4 – все 4 корня подходят.
Если а = 4 – три корня:
Ответ
: 1) если а < 0, то корней нет;
2) если а = 0, то х 1 = -1, х 2 =3;
3) если 0 < a < 4, то х 1,2,3.4 = 1 ;
4) если а = 4, то х 1 = 1; х 2,3 = 1 ;
5) если а > 4, то х 1,2 = 1 .
Пример 2 . При каких значениях а уравнение имеет более двух корней?
Решение . Если подставить х = 0 в исходное уравнение, то получим 6 = 6, это означает, что х = 0 является решением уравнения при любом а.
Пусть теперь х 0, тогда можно записать . Выясним знаки выражений 2х + 3 и 2х – 3.
Раскроем модули: а = (1)
В плоскости х0а построим множество точек (х;а), координаты которых удовлетворяют соотношению (1).
Если а = 0, то уравнение имеет бесконечное множество решений на промежутке , при других значениях а число решений уравнения не превышает двух.
Ответ : а = 0.
Тестовый контроль
1 вариант |
2 вариант |
1) Решите уравнение: 0 · х = а Ответы |
1) Решить уравнение: а х = а. Ответы : а) при а ≠ 0, х = 1, при а = 0, х R б) при а = 0, х R, при а ≠ 0 корней нет в) при а = 0 нет корней, при а ≠ х = |
2) Решит уравнение: (в – 2)·х = 5 + в. Ответы: |
2) Решите уравнение (в + 1)·х = 3 – в . Ответы: а) при в = 2 нет корней; при в ≠2, х = ; б) при в = -2 нет корней, при в ≠-2 х = в) при в = -1 нет корней, при а ≠ - 1 |
3) При каких значениях параметра с уравнение имеет бесконечное множество решений? с·(с + 1)·х = с 2 – 1 . Ответ : а) при с = -1, х R, ; |