Kõik raamatud teemal: “Edward Lawrence’i kaoseteooria. E

Kaose teooria! Kaose teaduslik läbimurre!

Kaose teooria!

Kaose teooria! Kaose teaduslik läbimurre!

Kaoseteooria on teadusliku uurimistöö meetod ja matemaatiline aparaat, mis kirjeldab teatud mittelineaarsete dünaamiliste süsteemide käitumist, mis on teatud tingimustel allutatud nähtusele, mida tuntakse kaose nime all (dünaamiline kaos, deterministlik kaos).

Sellise süsteemi käitumine näib juhuslik, isegi kui süsteemi kirjeldav mudel on deterministlik. Selle teooria raames uuritava nähtuse eripära rõhutamiseks on tavaliselt tavaks kasutada nimetust: dünaamiline kaoseteooria.

Selliste süsteemide näiteid on palju.

Näiteks: galaktiline kannibalism, maa atmosfäär, turbulentsed voolud atmosfääris.

Näited eluslooduses: bioloogilised populatsioonid, ühiskond kui kommunikatsioonisüsteem ja selle allsüsteemid: majanduslikud, poliitilised ja muud sotsiaalsed süsteemid.

Nende uuringuga koos olemasolevate kordussuhete analüütilise uurimisega kaasneb tavaliselt matemaatiline modelleerimine.

Kaose teooria! Lugu!

Kaoseteooria väidab, et keerulised süsteemid on äärmiselt sõltuvad algtingimustest ning väikesed, sageli juhuslikud muutused keskkonnas võivad viia ettearvamatute tagajärgedeni.

Kaootilise käitumisega matemaatilised süsteemid on deterministlikud, see tähendab, et nad järgivad mingit ranget seadust ja teatud mõttes on nad ka järjestatud. See sõna "kaos" kasutamine erineb oluliselt selle tavalisest tähendusest. Samuti on olemas selline füüsikavaldkond nagu kvantkaose teooria, mis uurib kvantmehaanika seadustele alluvaid mittedeterministlikke süsteeme.

Kaose teooria! Lugu!

Esimene kaose ja kaootiliste süsteemide uurija oli Henri Poincaré. 1880. aastatel, uurides gravitatsiooniliselt interakteeruva kolmekehalise süsteemi käitumist, märkas ta, et võib esineda mitteperioodilisi orbiite, mis pidevalt ei eemaldunud ega lähenenud konkreetsele punktile.

1898. aastal avaldas Jacques Hadamard mõjuka artikli vabade osakeste kaootilisest liikumisest, mis hõõrdumatult libiseb mööda pideva negatiivse kumerusega pinda. Oma töös “Hadamardi piljard” tõestas ta, et kõik trajektoorid on ebastabiilsed ja neis olevad osakesed kalduvad üksteisest kõrvale positiivse Ljapunovi eksponendiga.

Vaatamata kahekümnenda sajandi esimesel poolel püütud mõista paljudele loodusnähtustele ja süsteemidele omast kaost, hakkas kaoseteooria kui selline kujunema alles sajandi keskel.

Seejärel sai mõnele teadlasele selgeks, et tol ajal valitsenud lineaarteooria lihtsalt ei suutnud mõnda vaadeldud katset logistilise kaardistamisega sarnaselt seletada. Et välistada eelnevalt ebatäpsused uuringus, näiteks lihtsad "häired", peeti kaoseteooriat uuritava süsteemi täieõiguslikuks komponendiks.

Kaoseteooria arengu peamiseks katalüsaatoriks oli elektrooniliste arvutite leiutamine. Suur osa kaoseteooria matemaatikast hõlmab lihtsate matemaatiliste valemite korduvat iteratsiooni, mille käsitsi tegemine on väga töömahukas. Elektroonilised arvutid tegid sellised korduvad arvutused üsna kiiresti, samas kui joonised ja pildid võimaldasid neid süsteeme visualiseerida.

Üks kaoseteooria teerajajaid oli Edward Lorenz, kelle huvi kaose vastu tekkis juhuslikult, kui ta 1961. aastal tegeles ilmaennustusega.

Lorenz tegi ilma modelleerimise lihtsal McBee LGP-30 digitaalarvutil. Kui ta tahtis näha kogu andmejada, siis aja säästmiseks alustas ta simulatsiooni protsessi keskelt. Kuigi seda saaks teha väljatrüki andmete sisestamisega, mis ta eelmisel korral arvutas. Tema üllatuseks oli ilm, mida masin ennustama hakkas, täiesti erinev sellest, mida ta varem ennustas.

Lorenz pöördus arvuti väljatrüki poole. Arvuti täpsus oli 6-kohaline, kuid väljatrükk ümardas muutujad 3-kohaliseks, näiteks väärtuseks 0,506127 trükiti 0,506. Sellel väikesel erinevusel poleks pidanud olema praktiliselt mingit mõju.

Lorenz avastas aga, et väikesed muutused algtingimustes põhjustavad suuri muutusi tulemuses. Avastusele anti nimi Lorenz ja see tõestas, et meteoroloogia ei suuda enam kui nädala ilma täpselt ennustada.

Aasta varem leidis Benoit Mandelbrot korduvaid mustreid igas puuvilla hinnaandmete rühmas. Ta uuris informatsiooniteooriat ja jõudis järeldusele, et interferentstruktuur oli sarnane Regendi komplektiga: mis tahes skaalal oli häiretega perioodide ja ilma selleta perioodide osakaal konstantne – mis tähendab, et vead on vältimatud ja neid tuleb planeerida. Mandelbrot kirjeldas kahte nähtust: "Noa efekt", mis ilmneb äkiliste katkendlike muutuste korral, nagu hinnamuutused pärast halbu uudiseid, ja "Joosefi efekt", mille puhul väärtused on mõnda aega konstantsed, kuid muutuvad pärast seda siiski ootamatult. 1967. aastal avaldas ta teose How Long is the British Coast? Mõõtmiste sarnasuste ja erinevuste statistika”, mis tõestab, et rannajoone pikkuse andmed varieeruvad olenevalt mõõtevahendi skaalast. Benoit Mandelbrot väitis, et nööripall näib kaugelt vaadatuna punktina (0-mõõtmeline ruum), piisavalt lähedalt vaadates (3-mõõtmeline ruum) või suletud kõverana. joon ülalt (1-mõõtmeline ruum). ruum). Ta tõestas, et objekti mõõtmisandmed on alati suhtelised ja sõltuvad vaatluspunktist.

Objekt, mille kujutised on erinevates mõõtkavades konstantsed ("enesesarnasus"), on fraktal (näiteks Kochi kõver või "lumehelves"). 1975. aastal avaldas Benoit Mandelbrot teose The Fractal Geometry of Nature, millest sai klassikaline kaoseteooria. Mõned bioloogilised süsteemid, nagu vereringesüsteem ja bronhiaalsüsteem, sobivad fraktaalmudeli kirjeldusega.

Nõukogude füüsik Lev Landau töötas välja Landau-Hopfi turbulentsi teooria. Hiljem ennustasid David Ruell ja Floris Teiknes vastupidi Landaule, et vedeliku turbulents võib tekkida kummalise atraktori, kaoseteooria põhikontseptsiooni kaudu.

Kaose teooria! Lugu!

27. novembril 1961 märkas Y. Ueda Kyoto ülikooli laboratooriumi magistrantina teatud mustrit ja nimetas seda analoogarvutitega katsetades "juhusliku transformatsiooni nähtuseks". Tema juhendaja aga ei nõustunud tema toona tehtud järeldustega ja lubas tal oma leide avalikkuse ette tuua alles 1970. aastal.

1977. aasta detsembris korraldas New Yorgi Teaduste Akadeemia esimese kaoseteooria sümpoosioni, kus osalesid David Ruell, Robert May, James A. York, Robert Shaw, J. Dayan Farmer, Norman Packard ja meteoroloog Edward Lorenz.

Järgmisel aastal, 1978, avaldas Mitchell Feigenbaum artikli "Kvantitatiivne universaalsus mittelineaarsete teisenduste jaoks", kus ta kirjeldas logistilisi kaardistusi. Mitchell Feigenbaum rakendas rekursiivset geomeetriat looduslike vormide, näiteks rannajoonte, uurimisel. Tema töö eripära seisneb selles, et ta kehtestas kaoses universaalsuse ja rakendas kaoseteooriat paljudele nähtustele.

1979. aastal tutvustas Albert J. Libchabre Aspenis toimunud sümpoosionil oma eksperimentaalseid tähelepanekuid bifurkatsioonikaskaadi kohta, mis viib kaoseni. Ta pälvis koos Mitchell J. Feigenbaumiga Wolfi füüsikaauhinna "nende hiilgava eksperimentaalse demonstreerimise eest dünaamiliste süsteemide kaosesse ülemineku kohta".

1986. aastal korraldas New Yorgi Teaduste Akadeemia koos riikliku ajuinstituudi ja mereväe uurimiskeskusega esimese suurema konverentsi bioloogia ja meditsiini kaose teemal. Bernardo Uberman demonstreeris seal skisofreenikute silma ja selle liikumishäirete matemaatilist mudelit.

See tõi kaasa kaoseteooria laialdase kasutamise füsioloogias ja meditsiinis 1980. aastatel, näiteks südametsüklite patoloogia uurimisel.

1987. aastal avaldasid Per Bak, Chao Tan ja Kurt Wiesenfeld artikli, kus nad kirjeldasid esimest korda isemajandamissüsteemi (SS), mis on üks loomulikest mehhanismidest. Paljud uuringud keskendusid siis suuremahulistele looduslikele või sotsiaalsetele süsteemidele.

Isemajandamissüsteemi (SS) kontseptsioon on kujunenud tugevaks konkurendiks mitmesuguste loodusnähtuste, sealhulgas maavärinate, päikesepurskete, majandussüsteemide kõikumiste, maastiku kujunemise, metsatulekahjude, maalihkete, epideemiate ja bioloogilise evolutsiooni selgitamisel.

Arvestades juhtumite ebastabiilset ja mastaabivaba jaotust, on üllatav, et mõned teadlased on teinud ettepaneku kaaluda sõdade esinemist isemajandamissüsteemi (SS) näitena. Need "rakenduslikud" uuringud hõlmasid kahte modelleerimistööd: uute mudelite väljatöötamist ja olemasolevate kohandamist antud loodusliku süsteemiga.

Ka 1987. aastal avaldas James Gleick teose “Chaos: The Making of a New Science”, mis sai bestselleriks ja tutvustas üldsusele kaoseteooria üldpõhimõtteid ja selle kronoloogiat.

Kaose teooria! Lugu!

Kaoseteooria on järk-järgult arenenud interdistsiplinaarse ja ülikoolide distsipliinina, peamiselt nimetuse all "mittelineaarsete süsteemide analüüs".

Toetudes Thomas Kuhni paradigmamuutuse kontseptsioonile, väitsid paljud "kaootilised teadlased" (nagu nad end nimetasid), et see uus teooria on näide nihkest.

Kaose teooria! Lugu!

Kaose teooria! Mittelineaarsete süsteemide analüüs!

Võimsamate arvutite kättesaadavus teadlastele on avardanud keeruliste mittelineaarsete süsteemide uurimise võimalusi ja avardanud kaoseteooria praktilise rakendamise võimalusi.

Kaose teooria! Lugu!

Tuntuimateks mittelineaarsete süsteemide ja kaootiliste omadustega süsteemide uurijateks peetakse tavaliselt: prantsuse füüsikut ja filosoofi Henri Poincarét, kes tõestas kordumisteoreemi, nõukogude matemaatikuid A. N. Kolmogorovit ja V. I. Arnoldit ning saksa matemaatikut Yu. K. Moserit. . Nende jõupingutuste tulemusena loodi kaoseteooria, mida sageli nimetatakse KAM-iks (Kolmogorov-Arnold-Moser teooria).

KAM-i kaoseteooria tutvustab atraktorite (sealhulgas kummalised atraktorid kui Cantori struktuurid ligitõmbavate) mõistet, süsteemi stabiilseid orbiite, nn KAM tori.

Kaos! Kaose teooria. Mittelineaarsete süsteemide analüüsi teooria.

Kaos! Teaduslik arusaam teaduslikust kaosest!

Igapäevases kontekstis tähendab sõna "kaos" "absoluutset korratust".

Märgime kohe, et kaoseteoorias on omadussõna kaootiline täpsemalt defineeritud. Kuigi kaose üldtunnustatud universaalset matemaatilist määratlust ei ole, ütleb tavaliselt kasutatav "kaose" määratlus, et kaootiliseks klassifitseeritud dünaamilisel süsteemil peavad olema järgmised omadused:

See peab olema algtingimuste suhtes tundlik;

Sellel peab olema topoloogilise segunemise omadus;

Selle perioodilised orbiidid peavad olema kõikjal tihedad.

Täpsemad matemaatilised tingimused kaose tekkeks näevad välja järgmised:

Süsteem, mille teadlased klassifitseerivad "kaossüsteemiks", peab olema mittelineaarsete omadustega, globaalselt stabiilne, kuid vähemalt ühe ebastabiilse võnkuvat tüüpi tasakaalupunktiga ja süsteemi mõõtmed peavad olema vähemalt 1,5.

Lineaarsed süsteemid ei ole kunagi kaootilised. Et dünaamiline süsteem oleks kaootiline, peab see olema mittelineaarne. Poincar-Bendixsoni teoreemi järgi ei saa tasapinnal olev pidev dünaamiline süsteem olla kaootiline. Pidevate süsteemide hulgas on ainult mittetasapinnalised ruumisüsteemid kaootilise käitumisega (nõutav on vähemalt kolme mõõtme olemasolu või mitteeukleidiline geomeetria).

Kuid diskreetne dünaamiline süsteem võib mingil etapil käituda kaootiliselt isegi ühe- või kahemõõtmelises ruumis.

Kaos! Teaduslik arusaam kaosest!

Tundlikkus algtingimuste suhtes. Mida tähendab tundlikkus algtingimuste suhtes?

Tundlikkus algtingimuste suhtes “kaose” süsteemis tähendab seda, et kõik punktid, mis on algselt üksteise lähedal, on tulevikus oluliselt erineva trajektooriga. Seega võib meelevaldselt väike muutus praeguses trajektooris kaasa tuua olulise muutuse selle edasises käitumises. On tõestatud, et kaks viimast omadust viitavad tegelikult tundlikkusele algtingimuste suhtes (alternatiivne, nõrgem kaose definitsioon kasutab ainult kahte esimest omadust ülaltoodud loendist).

Tundlikkust algtingimuste suhtes tuntakse paremini kui liblikaefekti.

See mõiste “liblikaefekt” sai laialt levinud pärast artikli “Ennustus: liblika tiibade lehvitamine Brasiilias põhjustab Texases tornaado” ilmumist, mille Edward Lorenz esitas 1972. aastal Ameerika Teaduse Edendamise Ühingule. Washingtonis.

Liblika tiibade lehvitamine sümboliseerib väikseid muutusi süsteemi algseisundis, mis käivitavad sündmuste ahela, mis viib suuremahuliste muutusteni. Kui liblikas poleks tiibu lehvitanud, oleks süsteemi trajektoor olnud täiesti erinev, mis põhimõtteliselt tõestab süsteemi teatud lineaarsust. Kuid väikesed muutused süsteemi algseisundis ei pruugi sündmuste ahelat käivitada.

Kaos! Teaduslik arusaam kaosest!

Topoloogiline segunemine. Mida tähendab mõiste topoloogiline segamine?

Topoloogiline segunemine kaose dünaamikas tähendab sellist süsteemi laiendamise skeemi, kui üks selle piirkondatest laienemise mingil etapil kattub mis tahes muu piirkonnaga. Matemaatiline mõiste "segamine" kui kaootilise süsteemi näide vastab erinevat värvi värvide või vedelike segamisele.

Kaos! Teaduslik arusaam kaosest!

Kaootilise süsteemi tundlikkus. Mõistmise peensused.

Populaarsetes töödes aetakse sageli segamini kaootilise süsteemi tundlikkus algtingimuste suhtes kaose endaga. Joon on väga peen, kuna see sõltub mõõteindikaatorite valikust ja kauguste määratlusest süsteemi konkreetses etapis.

Näiteks vaatleme lihtsat dünaamilist süsteemi, mis korduvalt kahekordistab oma algväärtusi. Sellisel süsteemil on kõikjal tundlik sõltuvus algtingimustest, kuna kõik kaks naaberpunkti algstaadiumis asuvad hiljem juhuslikult üksteisest märkimisväärsel kaugusel. Selle käitumine on aga triviaalne, kuna kõik punktid peale nulli kalduvad lõpmatusse ja see ei ole topoloogiline segunemine. Kaose definitsioonis piirdub tähelepanu tavaliselt ainult suletud süsteemidega, milles paisumine ja tundlikkus algtingimuste suhtes on kombineeritud segunemisega.

Isegi suletud süsteemide puhul ei ole tundlikkus algtingimuste suhtes identne kaosega ülalkirjeldatud tähenduses.

Kaos! Teaduslik arusaam kaosest!

Ahvatlejad.

Atraktor on dünaamilise süsteemi teatud olekute kogum (täpsemalt faasiruumi punktid), millele ta aja jooksul kaldub. Atraktori lihtsaimad versioonid on külgetõmbe fikseeritud punkt (näiteks hõõrdumisega pendli ülesandes) ja perioodiline trajektoor (näiteks positiivse tagasisidega ahelas iseergastuvad võnked), kuid on ka palju muud. keerulised näited. Mõned dünaamilised süsteemid on alati kaootilised, kuid enamasti täheldatakse kaootilist käitumist ainult juhtudel, kui dünaamilise süsteemi parameetrid kuuluvad mõnda spetsiaalsesse alamruumi.

Kõige huvitavamad on kaootilise käitumise juhtumid, kui suur algtingimuste kogum viib atraktori orbiitide muutumiseni. Lihtne viis kaootilise atraktori demonstreerimiseks on alustada punktist atraktori külgetõmbepiirkonnas ja seejärel joonistada selle järgnev orbiit.

Topoloogilise transitiivsuse oleku tõttu sarnaneb see täieliku lõpliku atraktori pildi kuvamisega. Näiteks pendlit kirjeldavas süsteemis on ruum kahemõõtmeline ja koosneb andmetest asukoha ja kiiruse kohta. Saate koostada graafiku pendli asukohtade ja kiiruse kohta. Pendli asend puhkeasendis on punkt ja üks võnkeperiood kuvatakse graafikul lihtsa suletud kõverana. Suletud kõvera kujul olevat graafikut nimetatakse orbiidiks. Pendlil on lõpmatu arv selliseid orbiite, mis moodustavad välimuselt pesastatud ellipside komplekti.

Kaos! Teaduslik arusaam kaosest!

Kummalised ligitõmbajad.

Enamikku liikumistüüpe kirjeldavad lihtsad atraktorid, mis on piiratud tsüklid.

Kaootilist liikumist kirjeldavad kummalised atraktorid, mis on väga keerulised ja millel on palju parameetreid.

Näiteks lihtsat kolmemõõtmelist ilmastikusüsteemi kirjeldab kuulus Lorenzi atraktor – üks kuulsamaid kaootiliste süsteemide diagramme, mitte ainult seetõttu, et see oli üks esimesi, vaid ka seetõttu, et see on üks keerukamaid.

Mõnda diskreetset dünaamilist süsteemi nimetatakse päritolu järgi Julia süsteemideks. Nii kummalistel atraktoritel kui ka Julia süsteemidel on tüüpiline rekursiivne fraktaalstruktuur.

Poincaré-Bendixsoni teoreem tõestab, et pidevas dünaamilises süsteemis saab tekkida kummaline atraktor ainult siis, kui sellel on kolm või enam mõõdet. See piirang ei tööta aga diskreetsete dünaamiliste süsteemide puhul.

Diskreetsetel kahe- ja isegi ühemõõtmelistel süsteemidel võivad olla kummalised atraktorid. Kolme või enama gravitatsioonilist külgetõmbejõudu kogeva keha liikumine teatud algtingimustes võib osutuda kaootiliseks liikumiseks.

Kaos! Teaduslik arusaam kaosest!

Lihtsad kaootilised süsteemid.

Kaootilised võivad olla ka lihtsad süsteemid ilma diferentsiaalvõrranditeta. Näiteks võib tuua logistilise kuva, mis kirjeldab rahvaarvu muutust ajas. Logistiline kaart on teise astme polünoomkaart ja seda nimetatakse sageli tüüpiliseks näiteks sellest, kuidas kaootiline käitumine võib tuleneda väga lihtsatest mittelineaarsetest dünaamilistest võrranditest. Teine näide on Ricoeuri mudel, mis kirjeldab ka rahvastiku dünaamikat.

Isegi ühemõõtmeline ekraan võib näidata kaost vastavate parameetrite väärtuste puhul, kuid diferentsiaalvõrrand nõuab kolme või enama mõõdet. Poincaré-Bendixsoni teoreem väidab, et kahemõõtmelise diferentsiaalvõrrandi käitumine on väga stabiilne. Zhang ja Heidel tõestasid, et kolme- või nelja muutujaga kolmemõõtmelised ruutsüsteemid ei saa käituda kaootiliselt. Põhjus on selles, et selliste süsteemide lahendused on kahemõõtmeliste tasandite suhtes asümptotilised ja esindavad seetõttu stabiilseid lahendusi.

Kaos! Teaduslik arusaam kaosest!

Matemaatiline teooria.

Sharkovski teoreem on aluseks Li ja Yorke'i (1975) tõestusele, et ühemõõtmeline süsteem, millel on korrapärane kolmekordne tsükliperiood, suudab kaardistada nii mis tahes muu pikkusega regulaarseid tsükleid kui ka täiesti kaootilisi orbiite.

Matemaatikud on leiutanud palju täiendavaid viise kaootiliste süsteemide kirjeldamiseks ja uurimiseks kvantitatiivsete näitajate alusel. Nende hulka kuuluvad: rekursiivne atraktori mõõtmine, Ljapunovi eksponendid, kordumise seoste diagrammid, Poincaré kaardistamine, kahekordistamise diagrammid ja nihkeoperaator.

Kaos! Teaduslik arusaam kaosest!

Teaduslik arusaam kaootilistest süsteemidest aitab lahendada keerulisi kaasaegseid probleeme meid ümbritseva maailma uurimisel.

See kehtib ilmaennustuste, maavärinate, vulkaanipursete, kosmosenähtuste, planeetidevaheliste lendude ja muude keerukate protsesside kohta.

Kaoseteooria on jätkuvalt väga aktiivne teadusuuringute valdkond, kaasates oma uurimistöösse palju erinevaid distsipliine.

Võib märkida, et kaoseteooria on võimaldanud saavutada uusi saavutusi sellistes teadustes nagu: matemaatika, ruumigeomeetria, topoloogia, füüsika, bioloogia, meteoroloogia, astrofüüsika, infoteooria, kosmoloogia, sotsioloogia, konfliktoloogia jt.

Kaose teooria! Kaose teaduslik läbimurre! Teaduslik arusaam kaosest! Mittelineaarsete süsteemide analüüs! Kaoseteooria on mittelineaarse uurimistöö valdkond!

Keeruliste ja dünaamiliste süsteemide uurimine, et tuvastada näivate kaootiliste nähtuste korral (mitte-kaos) mustreid. Lorenzi (60) ja Poincaré (umbes 1900) kaoseteooria seletus

Mis on kaose teooria? Kirjeldus

Lorenzi ja Poincaré kaoseteooria meetod on meetod, mida saab kasutada keerukate ja dünaamiliste süsteemide uurimiseks, et paljastada näiliselt kaootilisest käitumisest tulenevad korramustrid (mitte-kaos).

"Kaoseteooria – kvalitatiivne uuring ebastabiilse aperioodilise käitumise kohta deterministlikes mittelineaarsetes dünaamilistes süsteemides" (Kellert, 1993, lk 2). Perioodiline käitumine ilmneb siis, kui puudub muutuja, mis kirjeldaks süsteemi olekut, mis kogeb regulaarset väärtuste kordumist. Ebastabiilne perioodiline käitumine on väga keeruline: see ei kordu kunagi ja avaldab mis tahes väikese häire mõju.

Tänapäeva matemaatilise teooria järgi iseloomustab kaootilist süsteemi "tundlikkus algtingimuste suhtes". Teisisõnu, selleks, et ennustada kindlalt süsteemi tulevast seisundit, peate teadma algtingimusi suure täpsusega, kuna vead suurenevad kiiresti isegi kõige väiksema ebatäpsuse tõttu.

Seetõttu on ilma nii raske ennustada. Teooriat on rakendatud ka äritsüklite, loomapopulatsioonide dünaamika, vedelike liikumise, planeetide orbiitide piirkonna, pooljuhtide elektrivoolu, meditsiiniliste seisundite (nt epilepsiahoog) ja võidurelvastumise simulatsioonide puhul.

1960. aastatel töötas MIT-i meteoroloog Edward Lorenz projekti kallal, mille eesmärk oli simuleerida ilmamustreid arvutis. Ta puutus kogemata kokku liblikaefektiga pärast seda, kui arvutuste varieerumine osade kaupa muutis oluliselt simulatsiooniprotsessi. Liblikaefekt näitab, kuidas väikeses mastaabis toimuvad muudatused võivad asju laias ulatuses mõjutada. See on klassikaline näide kaosest, kus väikesed muudatused võivad viia suurte muutusteni. Hongkongis tiibadega lehvitav liblikas võib Texases tornaado mustreid muuta.

Kaoseteooria vaatleb organisatsioone/ärigruppe kui keerulisi, dünaamilisi, mittelineaarseid, loomingulisi ja tasakaalust kaugel olevaid süsteeme. Nende tulevasi tulemusi ei saa ennustada mineviku ja praeguste sündmuste ja tegude põhjal. Kaoseseisundis käituvad organisatsioonid üheaegselt ettearvamatult (kaootiliselt) ja süstemaatiliselt (korrapäraselt).

Kaose teooria päritolu. Lugu

Nobeli preemia laureaat Ilja Prigogine näitas, et keerulised struktuurid võivad tuleneda lihtsamatest. See on nagu kaosest tekkinud kord. Henry Adams kirjeldas seda nähtust varem tsitaadiga "Kaos loob sageli elu, kui kord loob harjumuse". Henri Poincaré oli aga tõeline "kaoseteooria asutaja". Planeet Neptuun avastati 1846. aastal ja seda ennustati Uraani orbiidil toimunud kõrvalekallete vaatluste põhjal. Norra kuningas Oscar II oli valmis andma tasu kõigile, kes suudavad tõestada või ümber lükata, et päikesesüsteem on stabiilne. Poincaré pakkus välja oma lahenduse, kuid kui sõber leidis oma arvutustes vea, võeti tasu ära, kuni ta suutis uue lahenduse välja mõelda. Poincaré jõudis järeldusele, et lahendust pole. Isegi Isaac Newtoni seadused ei aidanud seda tohutut probleemi lahendada. Poincaré püüdis leida korda süsteemis, kus seda polnud. Kaoseteooria formuleeriti 1960. aastatel. Märkimisväärse ja praktilisema töö tegi 1960. aastatel Edward Lorenz. Nime kaos lõi Marylandi ülikooli rakendusmatemaatika teadlane Jim Yorke (Ruelle, 1991).

Kaoseteooria arvutamine? Valem

Kaoseteooria rakenduses annab üksik muutuja x(n) = x(t0 + nt) algajaga t0 ja viiteajaga t n-mõõtmelise ruumi ehk faasiruumi, mis esindab kogu süsteemi mitmemõõtmeline olekuruum; kaootilise süsteemi faasiruumi esitamiseks võib kuluda kuni 4 mõõdet. Seega arendab analüüsitud süsteem pika aja jooksul mittelineaarses aegreas mustreid, mida saab kasutada tulevaste olekute ennustamiseks (Solomatine et al, 2001).

Kaose teooria rakendamine. Taotlusvormid

Kaoseteooria põhimõtteid on edukalt kasutatud mitmesuguste loodus- ja tehisnähtuste kirjeldamiseks ja selgitamiseks. Nagu näiteks:

Epilepsiahoogude ennustamine. Finantsturgude ennustamine. Tootmissüsteemide modelleerimine. Ilmaennustused. Fraktalide loomine. Arvuti loodud pildid, kasutades kaoseteooria põhimõtteid. (Vaata seda lehte.)

Keskkondades, kus ettevõte tegutseb muutlikus, keerulises ja ettearvamatus keskkonnas, võivad kaoseteooria põhimõtted olla suure väärtusega. Rakendused võivad sisaldada:

Äristrateegia/Ettevõtte strateegia. Keeruline otsustusprotsess. Ühiskonnateadused. Organisatsioonikäitumine ja organisatsioonilised muutused. Võrdle: Organisatsiooni tulemuslikkuse ja muutuste börsikäitumise põhjuslik mudel, investeerimine.

Kaoseteooria etapid. Protsess

Kaose kontrolli all hoidmiseks on vaja kontrollida kaose süsteemi või protsessi. Süsteemi juhtimiseks vajate:

Eesmärk või ülesanne, mille süsteem peab saavutama ja täitma. Prognoositava käitumisega (deterministliku) süsteemi puhul võib see olla teatud süsteemi olek. Süsteem, mis on võimeline saavutama eesmärgi või täitma määratud ülesandeid. Mõned viisid süsteemi käitumise mõjutamiseks. Sisaldab juhtimissisendeid (otsused, otsustusreeglid või algolekud).

Kaoseteooria eelised. Eelised

Kaoseteooriat kasutatakse laialdaselt kaasaegses teaduses ja tehnoloogias. Suhtlemine ja juhtimine, nagu ka mitmed teised ärivaldkonnad, võivad olla tunnistajaks paradigma muutumisele. Selle valdkonna uurimine ja õppimine akadeemilises keskkonnas võivad olla äri- ja finantsmaailmale väga kasulikud.

Kaoseteooria piirangud. Puudused

Kaoseteooria rakendamise piirangud on peamiselt seotud sisendparameetrite valikuga. Nende parameetrite arvutamiseks valitud meetodid sõltuvad andmete aluseks olevast dünaamikast ja analüüsi tüübist, mis on enamikul juhtudel väga keerulised ega ole alati täpsed.

Kaoseteooria vahetut ja vahetut rakendust ärikeskkonnas pole lihtne leida, kuid ärikeskkonna analüüsi kaoseteadmisi kasutades tasub kindlasti rakendada.

Kaoseteooria eeldused). Tingimused

Väikesed teod toovad kaasa üsna suuri tagajärgi, luues kaootilise õhkkonna.

Sissejuhatus kaoseteooriasse

Mis on kaoseteooria?

Kaoseteooria on pidevalt muutuvate keerukate süsteemide uurimine, mis põhineb matemaatilistel kontseptsioonidel, kas rekursiivse protsessi või füüsikalist süsteemi modelleerivate diferentsiaalvõrrandite kogumi kujul (rekursioon on elementide kordamise protsess isesarnasel viisil). .

Valed arusaamad kaoseteooriast

Laiem avalikkus hakkas kaoseteooriale tähelepanu pöörama tänu sellistele filmidele nagu Jurassic Park ja tänu neile kasvab avalikkuse hirm kaoseteooria ees pidevalt. Kuid nagu kõige muuga, mida meedias käsitletakse, on kaoseteooria ümber palju väärarusaamu.

Kõige tavalisem lahknevus seisneb selles, et inimesed arvavad, et kaoseteooria on häire teooria. Miski ei saa olla tõest kaugemal! See ei ole determinismi ümberlükkamine ega väide, et korrastatud süsteemid on võimatud; see ei ole eksperimentaalsete tõendite eitamine ega väide, et keerulised süsteemid on kasutud. Kaos kaoseteoorias on kord – ja isegi mitte lihtsalt kord, vaid korra olemus.

On tõsi, et kaoseteooria väidab, et väikesed muudatused võivad põhjustada tohutuid tagajärgi. Kuid üks teooria keskseid mõisteid on võimatus süsteemi seisundit täpselt ennustada. Üldiselt on süsteemi üldise käitumise modelleerimine üsna teostatav, isegi lihtne. Seega ei keskendu kaoseteooria oma jõupingutused süsteemi ebakorrapärasusele – süsteemi pärilikule ettearvamatusele –, vaid pärilikule korrale – sarnaste süsteemide ühisele käitumisele.

Seega oleks vale väita, et kaoseteooria puudutab korralagedust. Selle illustreerimiseks näitega võtame Lorentzi atraktori. See põhineb kolmel diferentsiaalvõrrandil, kolmel konstandil ja kolmel algtingimusel.

Kaose teooria häire kohta

Atraktor esindab gaasi käitumist igal ajahetkel ja selle olek antud hetkel sõltub selle olekust sellele hetkele eelnevatel hetkedel. Kui algandmeid muudetakse isegi väga väikeste summade võrra, öelge, et need väärtused on piisavalt väikesed, et neid saaks võrrelda üksikute aatomite panusega Avogadro arvu (mis on väga väike arv võrreldes suurusjärgus olevate väärtustega 1024), atraktori oleku kontrollimine näitab täiesti erinevaid numbreid. See juhtub seetõttu, et väikesed erinevused suurendatakse rekursiooniga.

Sellest hoolimata näeb atraktorigraafik üsna sarnane välja. Mõlemal süsteemil on igal ajahetkel täiesti erinevad väärtused, kuid atraktorigraafik jääb samaks, kuna see väljendab süsteemi üldist käitumist.

Kaoseteooria ütleb, et keerulised mittelineaarsed süsteemid on oma olemuselt ettearvamatud, kuid samal ajal ütleb kaoseteooria, et viis selliste ettearvamatute süsteemide väljendamiseks osutub õigeks mitte täpsetes võrdsustes, vaid süsteemi käitumise esitustes – kummalistes atraktorigraafikutes. või fraktaalides. Seega osutub kaoseteooria, mida paljud arvavad kui ettearvamatust, samal ajal ka kõige ebastabiilsemates süsteemides ennustatavuse teaduseks.

Kaoseteooria rakendamine reaalses maailmas

Kui ilmuvad uued teooriad, tahavad kõik teada, mis neis head on. Mis siis kaoseteoorias head on? Esiteks ja kõige tähtsam, kaoseteooria on teooria. See tähendab, et suuremat osa sellest kasutatakse rohkem teadusliku alusena kui vahetult rakendatavate teadmistena. Kaoseteooria on väga hea viis vaadelda maailmas toimuvaid sündmusi erinevalt traditsioonilisest selgelt deterministlikust vaatest, mis on teaduses Newtonist saati domineerinud. Vaatajad, kes on näinud Jurassic Parki, kardavad kahtlemata, et kaoseteooria võib oluliselt mõjutada inimeste ettekujutust maailmast ja tegelikult on kaoseteooria kasulik vahendina teadusandmete uuel tõlgendamisel. Traditsiooniliste X-Y graafikute asemel saavad teadlased nüüd tõlgendada faasiruumi diagramme, mis - selle asemel, et kirjeldada mis tahes muutuja täpset asukohta konkreetsel ajahetkel - esindavad süsteemi üldist käitumist. Selle asemel, et vaadata statistilistel andmetel põhinevaid täpseid võrdusi, saame nüüd vaadelda dünaamilisi süsteeme, mille käitumine on olemuselt sarnane staatiliste andmetega – s.t. sarnaste atraktoritega süsteemid. Kaoseteooria annab tugeva raamistiku teaduslike teadmiste arendamiseks.

Eeltoodu järgi aga ei järeldu sellest, et kaoseteoorial poleks reaalses elus rakendusi.

Bioloogiliste süsteemide modelleerimiseks on kasutatud kaoseteooria tehnikaid, mis on kahtlemata ühed kõige kaootilisemad süsteemid, mida ette kujutada saab. Dünaamilisi võrrandisüsteeme on kasutatud kõige modelleerimiseks alates rahvastiku kasvust ja epideemiatest kuni arütmiliste südamelöökideni.

Tegelikkuses saab modelleerida peaaegu iga kaootilist süsteemi – aktsiaturg toodab kõveraid, mida saab hõlpsasti analüüsida kummaliste atraktorite, mitte täpsete seoste abil; lekkivast kraanist langevate tilkade protsess näib palja kõrvaga analüüsides juhuslik, kuid kummalise atraktorina kujutatuna paljastab see kummalise korra, mida traditsiooniliste vahenditega ei ootaks.

Fraktalid on kõikjal, kõige silmapaistvamalt graafikaprogrammides, nagu näiteks üliedukas Fractal Design Painter toodete seeria. Fraktaalandmete tihendamise tehnikaid arendatakse endiselt, kuid need lubavad hämmastavaid tulemusi, näiteks tihendussuhteid 600:1. Filmi eriefektide tööstuses oleks ilma fraktaalgraafika tehnoloogiata palju vähem realistlikke maastikuelemente (pilved, kivid ja varjud).

Füüsikas tekivad fraktaalid loomulikult mittelineaarsete protsesside modelleerimisel, nagu turbulentsed vedelikuvoolud, keerulised difusioon-adsorptsiooniprotsessid, leegid, pilved jne. Fraktaale kasutatakse poorsete materjalide modelleerimisel, näiteks naftakeemias. Bioloogias kasutatakse neid populatsioonide modelleerimiseks ja siseorganisüsteemide (veresoonkonna süsteemi) kirjeldamiseks.

Ja loomulikult annab kaoseteooria inimestele üllatavalt huvitava võimaluse äratada huvi matemaatika vastu, mis on tänapäeval üks kõige vähem populaarsemaid teadmistevaldkondi.

Sulle võib tunduda, et kaoseteooria on aktsiaturust ja eriti kauplemisest väga kaugel. Ja tõepoolest, kuidas saab üks matemaatika harudest, mis tegeleb keeruliste mittelineaarsete dünaamiliste süsteemidega, suhestuda kauplemismaailmaga? Aga saab!

Mittelineaarsete süsteemide eripära on see, et nende käitumine sõltub otseselt algtingimustest. Kuid isegi konkreetsed mudelid ei võimalda ennustada nende edasist käitumist.

Selliseid süsteeme on planeedil palju – turbulents, atmosfäär, bioloogilised populatsioonid jne.

Kuid hoolimata ettearvamatusest järgivad dünaamilised süsteemid rangelt ühte seadust ja neid saab soovi korral simuleerida. Näiteks börsil kohtavad kauplejad ja investorid ka kõveraid, mida saab analüüsida.

Natuke ajalugu

Kaoseteooria leidis oma rakenduse juba 19. sajandil, kuid need olid alles esimesed sammud. Edward Lawrence ja Benoit Mandelbrot hakkasid seda teooriat tõsisemalt uurima, kuid see juhtus hiljem – 20. sajandi teisel poolel. Samal ajal püüdis Lawrence oma teoorias ilma ennustada. Ja tal õnnestus tuletada selle kaootilise käitumise peamine põhjus - erinevad algtingimused.

Põhitööriistad

Kaose teooria peamised tööriistad on fraktalid ja atraktorid. Mis on neist igaühe olemus? Atraktor on see, mille poole süsteem tõmbab ja kuhu see lõpuks jõuda püüab. Selle väärtus on enamasti kaose kui terviku statistiline mõõt. Fraktal on omakorda omamoodi geomeetriline kujund, millest osa kordub pidevalt. Muide, selle põhjal tuletati selle instrumendi üks peamisi omadusi - enesesarnasus. Kuid on veel üks omadus - fraktsionaalsus, millest saab fraktaali ebakorrapärasuse astme matemaatiline peegeldus.

See tööriist on oma olemuselt kaose vastand.

Kahjuks puudub täpne kaoseteooria matemaatiline süsteem turuhindade uurimiseks. Seetõttu pole kaose teooria praktikas rakendamisega vaja kiirustada. Teisest küljest on see suund üks populaarsemaid ja väärib tähelepanu.

Kaootilised turud

Nagu praktika näitab, on enamikul kaasaegsetel turgudel teatud suundumused. Mida see tähendab? Kui vaatate kõverat pikema aja jooksul, näete alati konkreetse liikumise põhjust. Kuid kõik pole nii sujuv. Turul on alati teatud ettearvamatuse element, mille võib sisse tuua mingisugune katastroof, poliitilised sündmused või siseringi inimeste tegevus. Samal ajal püüab kaasaegne kaose teooria ennustada muutusi turul, võttes arvesse mõningaid närvivõrgu lähenemisviise.

Süsteemi modelleerimise võimalus

Kogenud osalejad teavad väga hästi, et see toimib mingi keerulise süsteemi alusel. See pole üllatav, sest selles on palju osalejaid (investorid, müüjad, spekulandid, ostjad, arbitraažid, riskimaandajad jne), kellest igaüks täidab oma ülesandeid. Veelgi enam, mõned mudelid kirjeldavad seda süsteemi, näiteks Elliotti lained.

Mandelbroti jaotuse ja normaaljaotuse erinevus

Praktikas on hinnajaotus palju laiem, kui enamik turuosalisi eeldab. Mandelbrot uskus, et hinnakõikumistel on lõpmatu dispersioon. Seetõttu on kõik analüüsimeetodid ebaefektiivsed. Neil paluti analüüsida hinnajaotust ainult fraktaalanalüüsi põhjal, mis osutus parimaks.

järeldused

Bill Villas (raamatu “Trading Chaos” autor) on kindel, et kaose iseloomustavad lülid on süsteemsus ja juhuslikkus. Tema arvates on kaos püsiv, võrreldes sama stabiilsusega, mis on ajutine. See on omakorda kaose produkt. Sisuliselt seab kaoseteooria kahtluse alla tehnilise analüüsi alused.

Williamsi sõnul ei saavuta turuosaline, kes analüüsis ainult lineaarset perspektiivi, kunagi suuri tulemusi.

Lisaks kaotavad kauplejad, kuna nad toetuvad erinevat tüüpi analüüsidele, mis on sageli täiesti kasutud.

Olge kursis kõigi United Tradersi oluliste sündmustega – tellige meie leht

Käimas on revolutsioon, mis võib muuta strateegilist mõtlemist. Mõru tõde on see, et sellel revolutsioonil on vähe ühist pärast külma sõja lõppu ja operatsiooni Desert Storm edu saavutatud "uue maailmakorraga". Teaduses on toimumas tõeline revolutsioon, mille mõju võib muuta nii sõja olemust kui ka strateegilise mõtlemise standardeid. Meie tähelepanu on endiselt suunatud lühiajalistele rahvusvahelistele ümberkorraldustele. Olles sellesse üleminekuhetke haaratud, igatseme epohaali.

Teaduse edusammud lükkavad meid Newtoni kontseptsioonidest kaugemale eksootilise kaoseteooria ja iseorganiseerunud kriitilisuse poole. Need uued teadusuuringute suunad on tekkinud alles viimase 30 aasta jooksul. Lühidalt öeldes väidavad nad, et struktuur ja stabiilsus peituvad kõige ilmsemates häiretes ja mittelineaarsetes protsessides. Kuna minevikus toimunud teadusrevolutsioonid on muutnud konfliktide olemust, on Ameerika strateegidel oluline mõista toimuvaid muutusi. Ühest küljest on see oluline tehnoloogilisest aspektist: uued põhimõtted toodavad uut tüüpi relvi, nagu kvantteooria ja relatiivsusteooria kaasnesid tuumarelvade tekkega.

Teine ja fundamentaalsem põhjus teaduses toimuvate muutuste mõistmiseks on see, et meie reaalsustaju põhineb teaduslikel paradigmadel. Maailm näib meile sageli kohana, mis on täis vastuolusid ja segadust ning me otsime raamistikke, mis täidavad selle tähendusega. Selle raamistiku panid täielikult paika füüsikateadused, nii nagu 18. sajandil valitses arvamus, et taevakehade liikumine on nagu tohutu kellavärgi töö. Teaduse edusammud näitavad meile ka uusi viise keskkonna mõistmiseks ja võivad tähendada uuendusi poliitiliste dilemmade lahendamisel. Hoolimata strateegiakogukonna soovist haarata ära muutustest saadavad tehnoloogilised eelised, on neid edusamme täiesti võimalik strateegilise mõtlemisega kohandada. See artikkel kriibib ainult tehniliste eeliste pinda, keskendudes selle asemel kontseptuaalsetele aspektidele.

Strateegilise kogukonna poolt uute paradigmade tagasilükkamine on austusavaldus praeguste hoiakute jõule. Konkreetset paradigmat, mis on läbinud tänapäeva lääne teadvuse, kirjeldab kõige paremini newtoni maailmavaade. See on deterministlik, lineaarne, seotud objektide ja jõudude vastasmõjuga ning keskendub järjepidevatele muutustele. See ühtne maailmavaade on mõjutanud kõiki inimtegevuse valdkondi. Üks kommentaator on selle väga selgelt väljendanud: "Teised teadused toetavad mehhanistlikku... nägemust klassikalisest füüsikast kui reaalsuse selgest kirjeldusest ja modelleerivad selle põhjal oma teooriaid. Kui psühholoogid, sotsioloogid või majandusteadlased soovivad läheneda teaduslikkusele, pöörduvad nad loomulikult Newtoni füüsika põhikontseptsioon."Sotsiaalteadusena on sõjateadusel samad eeldused. On üsna tõsi öelda, et see spetsiifiline mehaanika distsipliin – teadus jõudude ja kehade liikumisest ja tegevusest – on meie kujutlusvõimet haaranud.

Miks mehhaaniline maailmavaade niivõrd blokeerib strateegilist mõtlemist? Osa vastusest leiame selles, et sõja- ja politoloogia arenesid 18. ja 19. sajandil otseselt teadustena kooskõlas klassikalise füüsika ja matemaatika tähtsuse kasvuga. Einstein kirjeldab seda ajastu vaimu järgmiselt: "mehaanika suured saavutused kõigis harudes, vapustav edu astronoomia arengus, ideede rakendamine täiesti erinevatele probleemidele, mis ei ole oma olemuselt matemaatilised, kõik see aitasid esile kerkida. usust, et kõiki loodusnähtusi on võimalik kirjeldada tavaliste jõududena objektide vahel, mis ei võimalda mingeid muutusi."

Lisaks on rohkem reaalseid põhjuseid. Lihtsamalt öeldes on võitlus mehaanika. Kellelegi ei tule üllatusena, et sõjaline strateegia on viidud mehhanistlikusse raamistikku. Kuna riiklik strateegia laenab sageli lahingu metafoore – rahumeelne "agressioon", külm "sõda", riigi ülesehitamise kampaania -, siis pole üllatav, et ka riiklikus strateegias peegeldub sama eelarvamus. Poliitika on sõja jätkamine keeleliste vahenditega.

Teine põhjus, miks mehaanika nii kauakestev mõju on olnud, on selle ligipääsetavus. Eelmisel sajandil tegid füüsika (sh selle alamvaldkond mehaanika) ja keemia teiste teadusvaldkondadega võrreldes suuri edusamme. Bioloogia oli 19. sajandi lõpuni lapsekingades ja Einsteini relatiivsusteooriat esindavad avastused olid alles tulevikus. Newtoni mehaanika seevastu kinnistus kindlalt 17. sajandi lõpus.

Lõpuks oli see mehhaaniline maailmavaade rahustav, sest see väitis, et maailm muutub järk-järgult. See andis strateegidele lootust, et sündmuste jada on võimalik ennustada, kui avastatakse aluspõhimõtted ja teatakse võimalusi, mida saaks rakendada. Seetõttu pole üllatav, et kaasaegsed sõjandusteoreetikud on kindlalt ja alateadlikult järginud mehhanistlikku paradigmat. Sõjalise strateegia tasandil, võttes arvesse Clausewitz, raamatu "Sõjast" keel lõhub mehhanistlikud alused: hõõrdumine, mass, raskuskeskmed jne. Või võta Jomini, mis kõigutas lahinguvälja geomeetria põhialuseid. Või kui võtta nüüdisaegne näide, vaatleme väljavõtet Pentagoni riikliku julgeoleku planeerimise käsiraamatust: "Külma sõja lõppu võib kirjeldada kui tektooniliste plaatide monumentaalset nihet, mis vabastab suured jõud, mis kujundavad pöördumatult ümber strateegilise maastiku."

Sellest ajast peale, kui see mehhaaniline maailmavaade on muutunud, pole see kunagi oma haaret lõdvendanud. Tulemuseks on stagnatsioon, mis on tingitud meie paljude strateegiliste dilemmade ebakindlast alusest. Riiklikule julgeolekusüsteemile omane konservatiivsus on ühendatud arusaamaga vajadusest pöörata tähelepanu sõja ja rahu põhiküsimustele ning nüri teoreetiline uuendus. Reaalsuse mehhanistlikul struktuuril põhinev revolutsioon strateegias on kindlalt fikseeritud positsiooniga ning eelmise sajandi provokatiivsetest doktriinidest on saanud selle piiravad dogmad.

Kuid kas see on tõesti probleem? Tavapärased sõjad kiitis Clausewitz küll suures osas heaks, Liddell Hart ja teised sedalaadi inimesed. Nn revolutsiooni sõjategevuses enne 1945. aastat esindasid vaid muutused mehaanilistes eelistes. Näiteks motoriseeritud sõda suurendas ründavate vägede sihtimise võimalusi, kuid seda analüüsiti siiski Clausewitzi stiilis. Õhuvägi on nihutanud lahingu tõelisse kolmandasse dimensiooni, kuid pole paradigmat ennast kõrvaldanud. Samuti säilitas relvade destruktiivsuse ja täpsuse kasv sõja klassikalise tõlgendamise raamistiku. Riiklikul strateegilisel tasandil leiame, et need sobivad ida ja lääne vahelise strateegilise "tasakaalu" kindlaksmääramiseks ning liitude säilitamiseks ja reformimiseks, millel on vasteid möödunud sajandite mehhaanilistes reakoosseisudes.

Kuid kõik, mida me sellest võtta saame, on rahutu mugavus: kuna maailm muutub keerulisemaks, on traditsioonilised teooriad vähem seletatavad. Lõhe teooria ja tegelikkuse vahel eksisteerib nii riikliku kui ka sõjalise strateegia tasandil. Sõjaliselt ei sobinud eelmisel sajandil välja töötatud relvade arv ja sõjapidamise liigid piisavalt klassikalise strateegiaga. Uusi relvi on suhteliselt lihtne välja töötada, kuid doktrinaalses raamistikus raske rakendada. Bioloogilised ja tuumarelvad on kaks sellist näidet. Muidugi on lahinguprotsess ise segane. Armee doktriin ütleb nüüd avalikult: "Kõrge ja keskmise intensiivsusega lahingutegevused on kaootilised, intensiivsed ja väga hävitavad... Operatsioonid on suures osas lineaarsed."