Nurkade tüübid kraadides. Mis on nurgad? Nurkade mõõtmine nurgamõõturiga

Alustuseks määratleme, mis on nurk. Esiteks, see on Teiseks, selle moodustavad kaks kiirt, mida nimetatakse nurga külgedeks. Kolmandaks tulevad viimased välja ühest punktist, mida nimetatakse nurga tipuks. Nende märkide põhjal saame teha määratluse: nurk - geomeetriline kujund, mis koosneb kahest ühest punktist (tipust) väljuvast kiirest (küljest).

Neid klassifitseeritakse kraadide, üksteise ja ringi suhtes paiknemise järgi. Alustame nurkade tüüpidega nende suuruse järgi.

Neid on mitut sorti. Vaatame iga tüüpi lähemalt.

Nurka on ainult neli peamist tüüpi – paremnurk, nürinurk, teravnurk ja arenenud nurk.

Otse

See näeb välja selline:

Selle kraadimõõt on alati 90 o, teisisõnu täisnurk on 90 kraadine nurk. Need on ainult nelinurkadel nagu ruut ja ristkülik.

Nüri

See näeb välja selline:

Kraadimõõt on alati suurem kui 90 kraadi, kuid väiksem kui 180 kraadi. See võib esineda sellistes nelinurkades nagu romb, suvaline rööpkülik, hulknurkadena.

Vürtsikas

See näeb välja selline:

Teravnurga kraadimõõt on alati väiksem kui 90°. See esineb kõigis nelinurkades, välja arvatud ruut ja suvaline rööpkülik.

kasutusele võetud

Laiendatud nurk näeb välja selline:

See ei esine hulknurkades, kuid see pole vähem oluline kui kõik teised. Sirgenurk on geomeetriline kujund, mille kraadimõõt on alati 180º. Sellele saab tugineda, tõmmates selle tipust mis tahes suunas ühe või mitu kiirt.

On mitmeid teisi sekundaarseid nurkade tüüpe. Neid koolides ei õpita, kuid nende olemasolust on vaja vähemalt teada. On ainult viis teist tüüpi nurki:

1. Null

See näeb välja selline:

Juba nurga nimi räägib selle suurusest. Tema sisemine piirkond võrdub 0 o ja küljed asetsevad üksteise peal, nagu on näidatud joonisel.

2. Kaldus

Kaldus võib olla sirge ja nüri ning terav ja arenenud nurk. Selle põhitingimus on, et see ei tohiks olla võrdne 0 o, 90 o, 180 o, 270 o.

3. Kumer

Kumerad on null-, parem-, nüri-, terav- ja arenenud nurgad. Nagu te juba aru saite, on kumera nurga aste vahemikus 0 o kuni 180 o.

4. Mittekumer

Mittekumerad on nurgad, mille kraadimõõt on 181 o kuni 359 o (kaasa arvatud).

5. Täis

Nurk, mille mõõt on 360 kraadi, on täielik nurk.

Need on kõik tüüpi nurgad vastavalt nende suurusele. Nüüd kaaluge nende tüüpe üksteise suhtes lennuki asukoha järgi.

1. Täiendav

Need on kaks teravnurka, mis moodustavad ühe sirge, st. nende summa on 90 o.

2. Seotud

Külgnevad nurgad tekivad, kui kiir tõmmatakse mis tahes suunas läbi paigutatud, täpsemalt läbi selle tipu. Nende summa on 180 o.

3. Vertikaalne

Vertikaalsed nurgad tekivad siis, kui kaks sirget ristuvad. Nende kraadid on võrdsed.

Liigume nüüd ringi suhtes paiknevate nurkade tüüpide juurde. Neid on ainult kaks: keskne ja sissekirjutatud.

1. Kesk

Kesknurk on see nurk, mille tipp on ringi keskel. Selle kraadimõõt on võrdne külgede all oleva väiksema kaare kraadimõõduga.

2. Sissekirjutatud

Sissekirjutatud nurk on nurk, mille tipp asub ringil ja mille küljed seda lõikuvad. Selle kraadimõõt on võrdne poolega kaarest, millel see toetub.

Kõik on seotud nurkadega. Nüüd teate, et lisaks kõige kuulsamatele - teravatele, nüridele, sirgetele ja laialivalguvatele - on geomeetrias palju muud tüüpi neid.

Videokursus "Saa A" sisaldab kõiki edukaks tegemiseks vajalikke teemasid eksami sooritamine matemaatikas 60-65 punkti. Täiesti kõik ülesanded 1-13 profiilieksam matemaatika. Sobib ka matemaatika Basic USE läbimiseks. Kui soovid sooritada eksami 90-100 punktiga, tuleb 1. osa lahendada 30 minutiga ja vigadeta!

Ettevalmistuskursus eksamiks 10-11 klassidele, samuti õpetajatele. Kõik vajalik matemaatika eksami 1. osa (esimesed 12 ülesannet) ja 13. ülesande (trigonomeetria) lahendamiseks. Ja see on ühtsel riigieksamil rohkem kui 70 punkti ja ilma nendeta ei saa hakkama ei sajapalline tudeng ega humanist.

Kogu vajalik teooria. Kiired viisid eksami lahendused, lõksud ja saladused. Kõik 1. osa asjakohased ülesanded FIPI ülesannete pangast on analüüsitud. Kursus vastab täielikult USE-2018 nõuetele.

Kursus sisaldab 5 suurt teemat, igaüks 2,5 tundi. Iga teema on antud nullist, lihtsalt ja selgelt.

Sajad eksamiülesanded. Tekstülesanded ja tõenäosusteooria. Lihtsad ja kergesti meeldejäävad probleemide lahendamise algoritmid. Geomeetria. Teooria, teatmematerjal, igat tüüpi USE ülesannete analüüs. Stereomeetria. Kavalad nipid lahendamiseks, kasulikud petulehed, ruumilise kujutlusvõime arendamine. Trigonomeetria nullist – ülesandeni 13. Tuupimise asemel mõistmine. Keeruliste mõistete visuaalne selgitus. Algebra. Juured, astmed ja logaritmid, funktsioon ja tuletis. Eksami 2. osa keeruliste ülesannete lahendamise alus.

Õpilased tunnevad nurga mõistet sisse Põhikool. Aga kui teatud omadustega geomeetrilist kujundit, hakatakse seda õppima geomeetria 7. klassist. Näib, piisav lihtne kujund mida saab tema kohta öelda. Kuid uusi teadmisi omandades mõistavad koolilapsed üha enam, et tema kohta saate teada üsna huvitavaid fakte.

Kokkupuutel

Millal uuritakse

Kooli geomeetria kursus on jagatud kaheks osaks: planimeetria ja tahke geomeetria. Igal neist on palju tähelepanu. antud nurkadele:

• Planimeetrias antakse nende põhikontseptsioon, tutvutakse nende tüüpidega suuruses. Igat tüüpi kolmnurkade omadusi uuritakse üksikasjalikumalt. Ilmuvad uued õpilaste definitsioonid - need on geomeetrilised kujundid, mis on moodustatud kahe sirge ristumiskohas üksteisega ja sekanti mitme joone ristumiskohas.
• Stereomeetrias uuritakse ruumilisi nurki - kahe- ja kolmetahulisi.

Tähelepanu! Selles artiklis käsitletakse kõiki planimeetria nurkade tüüpe ja omadusi.

Definitsioon ja mõõtmine

Õppima asudes tehke esmalt kindlaks, mis on nurk planimeetrias.

Kui võtame tasapinnal teatud punkti ja tõmbame sellest kaks suvalist kiirt, saame geomeetrilise kujundi - nurga, mis koosneb järgmistest elementidest:

• tipp - punkt, kust kiired tõmmati, on tähistatud ladina tähestiku suure tähega;
• küljed on ülalt tõmmatud pooljoon.

Kõik elemendid, mis moodustavad kujundi, mida me kaalume, jagavad tasapinna kaks osa:

• sisemine - planimeetrias ei ületa 180 kraadi;
• välised.

Nurkade mõõtmise põhimõte planimeetrias seletatakse intuitiivselt. Alustuseks tutvustatakse õpilastele arenenud nurga mõistet.

Tähtis! Nurka nimetatakse arenetuks, kui selle tipust väljuvad pooljooned moodustavad sirge. Voldimata nurk on kõik muud juhtumid.

Kui see on jagatud 180 võrdseks osaks, siis on tavaks lugeda, et ühe osa mõõt on 10. Sel juhul öeldakse, et mõõtmine toimub kraadides ja sellise näitaja kraadimõõt on 180 kraadi.

Peamised tüübid

Nurkade tüübid jagunevad selliste kriteeriumide järgi nagu kraadimõõt, nende moodustumise olemus ja alltoodud kategooriad.

Suuruse järgi

Suurust arvestades jagatakse nurgad järgmisteks osadeks:

• kasutusele võetud;
• sirge;
• nüri;
• vürtsikas.

Millist nurka nimetatakse kasutuselevõtuks, esitati eespool. Defineerime sirgjoone mõiste.

Seda saab saada, jagades kasutusele võetud kaheks võrdseks osaks. Sel juhul on lihtne vastata küsimusele: täisnurk, mitu kraadi see on?

Jagage 180 kraadi 2-ga, et saada täisnurk on 90 kraadi. See on suurepärane näitaja, kuna sellega on seotud paljud geomeetria faktid.

Sellel on ka tähistuses oma omadused. Joonisel täisnurga näitamiseks tähistatakse seda mitte kaare, vaid ruuduga.

Nurki, mis saadakse sirgjoone suvalise kiire jagamisel, nimetatakse teravaks. Asjade loogika järgi järeldub, et teravnurk on väiksem kui täisnurk, kuid selle mõõt erineb 0 kraadist. See tähendab, et selle väärtus on 0 kuni 90 kraadi.

Nürinurk on suurem kui täisnurk, kuid väiksem kui sirgnurk. Selle kraadimõõt varieerub vahemikus 90 kuni 180 kraadi.

Selle elemendi saab jagada erinevad tüübid arvestatud arvud, välja arvatud laiendatud.

Sõltumata sellest, kuidas pööramata nurk puruneb, kasutatakse alati planimeetria põhiaksioomi - "mõõtmise põhiomadust".

Kell nurga jagamine ühe talaga või mitu, on antud kujundi kraadimõõt võrdne nende nurkade mõõtmete summaga, milleks see on jagatud.

7. klassi tasemel lõpevad nurgatüübid oma suurusjärgus. Kuid eruditsiooni suurendamiseks võib lisada, et on ka teisi sorte, mille kraadimõõt on üle 180. Neid nimetatakse kumeraks.

Joonised joonte ristumiskohas

Järgmised nurkade tüübid, mida õpilased tutvustavad, on elemendid, mis moodustuvad kahe sirge lõikumisel. Üksteise vastas asetsevaid figuure nimetatakse vertikaalseks. Nende eripära on see, et nad on võrdsed.

Sama joonega külgnevaid elemente nimetatakse külgnevateks. Nende omadusi kaardistav teoreem ütleb seda Kõrvuti asetsevad nurgad annavad kokku kuni 180 kraadi.

Elemendid kolmnurgas

Kui vaadelda joonist kolmnurga elemendina, jagatakse nurgad sise- ja välisnurgad. Kolmnurk on piiratud kolme segmendiga ja koosneb kolmest tipust. Nurgad, mis asuvad kolmnurga sees igas tipus, nimetatakse sisemiseks.

Kui võtta ükskõik milline sisemine element mis tahes tipus ja pikendada mis tahes külge, siis moodustunud ja sisemise nurgaga külgnevat nurka nimetatakse väliseks. Sellel elementide paaril on järgmine omadus: nende summa on 180 kraadi.

Kahe sirge ristumiskoht

Joone ristumiskoht

Kui kaks sirgjoont ristuvad, moodustuvad ka nurgad, mida tavaliselt jaotatakse paarikaupa. Igal elemendipaaril on oma nimi. See näeb välja selline:

• sisemine ristlamamine: ∟4 ja ∟6, ∟3 ja ∟5;
• sisemine ühepoolne: ∟4 ja ∟5, ∟3 ja ∟6;
• vastavad: ∟1 ja ∟5, ∟2 ja ∟6, ∟4 ja ∟8, ∟3 ja ∟7.

Juhul, kui sekant lõikub kahte sirget, on kõigil neil nurkade paaridel teatud omadused:

1. Sisemine risti lamamine ja vastavad kujundid on omavahel võrdsed.
2. Sisemised ühepoolsed elemendid annavad kokku kuni 180 kraadi.

Uurime geomeetrias nurki, nende omadusi

Nurkade tüübid matemaatikas

Järeldus

See artikkel tutvustab kõiki peamisi nurgatüüpe, mida planimeetrias leidub ja mida õpitakse seitsmendas klassis. Kõigil järgnevatel kursustel on kõigi vaadeldavate elementidega seotud omadused aluseks geomeetria edasisele uurimisele. Näiteks õppimisel on vaja meelde tuletada kõiki nurkade omadusi, mis on moodustatud kahe paralleelse sekandi ristumiskohas. Kolmnurkade tunnuste uurimisel on vaja meeles pidada, millised on külgnevad nurgad. Pärast stereomeetriale üleminekut hakatakse kõiki kolmemõõtmelisi kujundeid uurima ja ehitama planimeetriliste kujundite põhjal.

Selles artiklis käsitletakse ühte peamist geomeetrilist kuju - nurka. Pärast selle kontseptsiooni üldist sissejuhatust keskendume sellele eraldi liigid selline kujund. Sirgenurk on geomeetrias oluline mõiste ja see on selle artikli keskmes.

Sissejuhatus geomeetrilise nurga mõistesse

Geomeetrias on terve hulk objekte, mis moodustavad kogu teaduse aluse. Nurk lihtsalt viitab neile ja määratakse kiiri mõiste abil, nii et alustame sellest.

Samuti peate enne nurga enda määratlemise juurde asumist meeles pidama mitut geomeetrias võrdselt olulist objekti - see on punkt, tasapinna sirgjoon ja tasapind ise. Sirge on kõige lihtsam geomeetriline kujund, millel pole algust ega lõppu. Tasapind on pind, millel on kaks mõõdet. Noh, kiir (või pooljoon) geomeetrias on osa sirgest, millel on algus, kuid mitte lõpp.

Neid mõisteid kasutades saame väita, et nurk on geomeetriline kujund, mis asub täielikult teatud tasapinnas ja koosneb kahest mittevastavast ühise päritoluga kiirest. Selliseid kiiri nimetatakse nurga külgedeks ja külgede ühine algus on selle tipp.

Nurkade tüübid ja geomeetria

Teame, et nurgad võivad olla üsna erinevad. Seetõttu antakse allpool väike klassifikatsioon, mis aitab paremini mõista nurkade tüüpe ja nende põhiomadusi. Niisiis, geomeetrias on mitut tüüpi nurki:

1. Täisnurk. Seda iseloomustab väärtus 90 kraadi, mis tähendab, et selle küljed on alati üksteisega risti.
2. Terav nurk. Need nurgad hõlmavad kõiki nende esindajaid, mille suurus on alla 90 kraadi.
3. Nürinurk. Siin võivad olla ka kõik nurgad väärtusega 90–180 kraadi.
4. Laiendatud nurk. Selle suurus on rangelt 180 kraadi ja väliselt moodustavad selle küljed ühe sirge joone.

Sirgenurga mõiste

Vaatame nüüd väljatöötatud nurka üksikasjalikumalt. Seda juhul, kui mõlemad pooled asuvad samal sirgel, mis on alloleval joonisel selgelt näha. See tähendab, et võime kindlalt väita, et selle üks pool on tegelikult teise jätk.

Tasub meeles pidada tõsiasja, et sellist nurka saab alati jagada kiirte abil, mis väljub selle tipust. Selle tulemusena saame kaks nurka, mida geomeetrias nimetatakse külgnevateks.

Samuti on arendatud nurgal mitmeid funktsioone. Selleks, et rääkida neist esimesest, peate meeles pidama mõistet "nurga poolitaja". Tuletage meelde, et see on kiir, mis jagab mis tahes nurga rangelt pooleks. Mis puutub sirgnurka, siis selle poolitaja jagab selle nii, et moodustub kaks 90-kraadist täisnurka. Seda on väga lihtne matemaatiliselt arvutada: 180˚ (sirgendatud nurga kraad): 2 = 90˚.

Kui jagame väljatöötatud nurga täiesti suvalise kiirega, siis saame tulemuseks alati kaks nurka, millest üks on terav ja teine ​​nürinurk.

Lamedate nurkade omadused

Seda nurka on mugav kaaluda, koondades kõik selle peamised omadused, mida oleme selles loendis teinud:

1. Sirge nurga küljed on paralleelsed ja moodustavad sirgjoone.
2. Arendatud nurga väärtus on alati 180˚.
3. Kaks kõrvuti asetsevat nurka moodustavad alati sirge nurga.
4. Täisnurk, mis on 360˚, koosneb kahest paigutatud nurgast ja võrdub nende summaga.
5. Pool sirgendatud nurka on täisnurk.

Seega, teades kõiki seda tüüpi nurga omadusi, saame neid kasutada mitmete geomeetriliste ülesannete lahendamiseks.

Probleemid sirgete nurkadega

Selleks, et mõista, kas olete sirge nurga mõiste selgeks saanud, proovige vastata mõnele järgmistest küsimustest.

1. Mis on sirgnurk, kui selle küljed moodustavad vertikaalse joone?
2. Kas kaks nurka on kõrvuti, kui esimese suurus on 72˚ ja teise 118˚?
3. Kui täisnurk koosneb kahest sirgnurgast, siis mitu täisnurka sellel on?
4. Sirge nurk jagatakse kiirega kaheks selliseks nurgaks, et nende kraadimõõtmised on omavahel seotud 1:4. Arvutage saadud nurgad.

Lahendused ja vastused:

1. Olenemata sellest, kuidas sirgnurk asub, on see definitsiooni järgi alati 180˚.
2. Külgnevatel nurkadel on üks ühine külg. Seetõttu peate nende kokkupandud nurga suuruse arvutamiseks lisama nende kraadimõõtude väärtuse. Niisiis, 72 +118 = 190. Kuid definitsiooni järgi on sirgnurk 180˚, mis tähendab, et kaks etteantud nurka ei saa olla kõrvuti.
3. Sirge nurk sisaldab kahte täisnurka. Ja kuna terves on kaks juurutatud, tähendab see, et selles on 4 sirget joont.
4. Kui nimetame soovitud nurki a ja b, siis olgu x nende proportsionaalsuskoefitsient, mis tähendab, et a \u003d x ja vastavalt b \u003d 4x. Sirgenurk kraadides on 180˚. Ja vastavalt selle omadustele, et nurga aste on alati võrdne nende nurkade astmemõõtude summaga, milleks see on jagatud mis tahes suvalise kiirega, mis läbib selle külgede vahelt, võime järeldada, et x + 4x = 180 ˚, mis tähendab 5x = 180˚. Siit leiame: x=a=36˚ ja b = 4x = 144˚. Vastus: 36˚ ja 144˚.

Kui teil õnnestus kõigile neile küsimustele vastata ilma viipadeta ja vastustesse piilumata, olete valmis liikuma järgmise geomeetriatunni juurde.

Nurkade mõõtmine taandatakse neile vastavate kaare mõõtmiseks järgmiselt. Nurka, mis on võrdne 1/90-ga, võetakse nurgaühikuks. täisnurk. Seda üksust nimetatakse nurga aste .

Sama raadiusega kaareühiku jaoks võtke selline sama raadiusega kaar, mis vastab nurga kraadiga võrdsele kesknurgale. Sellist kaare nimetatakse kaare aste.

Kuna õige kesknurk vastab 1/4 ringist, siis nurga aste vastab 1/90 ringi veerandile. Seega on kaare aste 1/360 kogu ringist.

Olgu nõutud nurga AOB mõõtmine ehk selle nurga ja nurga kraadi MNP suhte leidmine Selleks kirjeldame suvalise, kuid identse raadiusega nurkade tippudest kaare CD ja EF.

Siis on meil:

Selle proportsiooni vasakpoolne suhe on arv, mis mõõdab nurka AOB kaare kraadides. Parem suhe on arv, mis mõõdab kaare CD kaare kraadides.

Seetõttu saab seda osakaalu väljendada järgmiselt: arv, mis mõõdab nurka kaare kraadides, on võrdne arvuga, mis mõõdab vastavat kaare kraadides.

Lühiduse huvides väljendatakse seda fraasi tavaliselt järgmiselt: Nurka mõõdetakse sellele vastava kaare järgi.

Nurga või kaare astmed on jagatud järgmisteks osadeks 60 võrdsed osad, nn minutit(nurk või kaar).

Minut on jagatud 60 võrdsed osad, nn sekundit(nurk või kaar).

Eelpool öeldust järeldub, et nurk sisaldab sama palju nurgakraade, minuteid ja sekundeid, kui palju on vastavas kaares kaarekraade, minuteid ja sekundeid.

Kui näiteks kaare-CD sisaldab 40 kraadi. 25 min. ja 13,5 sekundit (kaar), siis on nurk AOB 40 kraadi. 25 min. 13,5 sek. (nurkne). See on lühendatud järgmiselt:

∠AOB = 40°25' 13,5'',

tähistades märke (°), (‘), (‘’) vastavalt kraadi, minutite ja sekundite kaupa.

Kuna täisnurk sisaldab 90°, siis:

1. iga kolmnurga nurkade summa on 180°;

2. täisnurkse kolmnurga teravnurkade summa on 90°;

3. võrdkülgse kolmnurga iga nurk on 60°;

4. n küljega kumera hulknurga nurkade summa on 180° (n - 2).

Protraktor - See on nurkade mõõtmiseks kasutatav seade, see on poolring, mille kaar on jagatud 180 kraadiks.

Nurga AOB mõõtmiseks pange sellele seade nii, et poolringi keskpunkt langeks kokku nurga tipuga ja raadius OM ühtiks küljega AO. Seejärel näitab kaares PN sisalduv kraadide arv nurga AOB suurust. Protraktori abil saate joonistada ka nurga, mis sisaldab teatud arvu kraadi.

Loomulikult ei saa sellisel seadmel mitte ainult sekundeid, vaid ka minuteid lugeda. Mõõtmist ja ehitamist saab teostada vaid ligikaudselt.