Неопределенный логарифм. Первообразная и логарифмическая функция
Подробно рассмотрены примеры решений интегралов по частям, подынтегральное выражение которых содержит логарифм, арксинус, арктангенс, а также логарифм в целой степени и логарифм от многочлена.
СодержаниеСм. также:
Метод интегрирования по частям
Таблица неопределенных интегралов
Методы вычисления неопределенных интегралов
Основные элементарные функции и их свойства
Формула интегрирования по частям
Ниже, при решении примеров, применяется формула интегрирования по частям:
;
.
Примеры интегралов, содержащих логарифм и обратные тригонометрические функции
Вот примеры интегралов, которые интегрируются по частям:
, , , , , , .
При интегрировании ту часть подынтегрального выражения, которая содержит логарифм или обратные тригонометрические функции обозначают через u , остальное - через dv .
Ниже приведены примеры с подробными решениями этих интегралов.
Простой пример с логарифмом
Вычислим интеграл, содержащий произведение многочлена и логарифма:
Здесь подынтегральное выражение содержит логарифм. Делаем подстановки
u = ln
x
,
dv = x 2 dx
.
Тогда
,
.
Интегрируем по частям.
.
.
Тогда
.
В конце вычислений добавим постоянную C
.
Пример логарифма в степени 2
Рассмотрим пример, в котором в подынтегральное выражение входит логарифм в целочисленной степени. Такие интегралы также могут интегрироваться по частям.
Делаем подстановки
u = (ln
x) 2
,
dv = x dx
.
Тогда
,
.
Оставшийся интеграл также вычисляем по частям:
.
Подставляем
.
Пример, в котором аргумент логарифма является многочленом
По частям могут вычисляться интегралы, в подынтегральное выражение которого входит логарифм, аргумент которого является многочленом, рациональной или иррациональной функцией. В качестве примера, вычислим интеграл с логарифмом, аргумент которого является многочленом.
.
Делаем подстановки
u = ln( x 2 - 1)
,
dv = x dx
.
Тогда
,
.
Вычисляем оставшийся интеграл:
.
Мы здесь не пишем знак модуля ln |
x 2 - 1|
,
поскольку подынтегральное выражение определено при x 2 - 1 > 0
.
Подставляем
.
Пример с арксинусом
Рассмотрим пример интеграла, в подынтегральное выражение которого входит арксинус.
.
Делаем подстановки
u = arcsin
x
,
.
Тогда
,
.
Далее замечаем, что подынтегральное выражение определено при |x| < 1 . Раскроем знак модуля под логарифмом, учитывая что 1 - x > 0 и 1 + x > 0 .
Пример с арктангенсом
Решим пример с арктангенсом:
.
Интегрируем по частям.
.
Выделим целую часть дроби:
x 8
= x 8
+ x 6
- x 6
- x 4
+ x 4
+
x 2
- x 2
- 1 + 1 =
(x 2 + 1)(x 6
- x 4
+ x 2 - 1) + 1
;
.
Интегрируем:
.
Окончательно имеем.
Таблица первообразных ("интегралов"). Таблица интегралов. Табличные неопределенные интегралы. (Простейшие интегралы и интегралы с параметром). Формулы интегрирования по частям. Формула Ньютона-Лейбница.
Таблица первообразных ("интегралов"). Табличные неопределенные интегралы. (Простейшие интегралы и интегралы с параметром). |
|
Интеграл степенной функции. |
Интеграл степенной функции. |
Интеграл, сводящийся к интегралу степенной функции, если загнать х под знак диффференциала. |
|
Интеграл экспоненты, где a-постоянное число. |
|
Интеграл сложной экспоненциальной функции. |
Интеграл экспоненциальной функции. |
Интеграл, равняющийся натуральному логорифму. |
Интеграл: "Длинный логарифм". |
Интеграл: "Длинный логарифм". |
|
Интеграл: "Высокий логарифм". |
Интеграл, где х в числителе заводится под знак дифференциала (константу под знаком можно как прибавлять, так и отнимать), в итоге схож с интегралом, равным натуральному логорифму. |
Интеграл: "Высокий логарифм". |
|
Интеграл косинуса. |
Интеграл синуса. |
Интеграл, равный тангенсу. |
Интеграл, равный котангенсу. |
Интеграл, равный как арксинусу, так и арккосинусу |
|
Интеграл, равный как арксинусу, так и арккосинусу. |
Интеграл, равный как арктангенсу, так и арккотангенсу. |
Интеграл равный косекансу. |
Интеграл, равный секансу. |
Интеграл, равный арксекансу. |
Интеграл, равный арккосекансу. |
Интеграл, равный арксекансу. |
Интеграл, равный арксекансу. |
Интеграл, равный гиперболическому синусу. |
Интеграл, равный гиперболическому косинусу. |
Интеграл, равный гиперболическому синусу, где sinhx - гиперболический синус в ангийской версии. |
Интеграл, равный гиперболическому косинусу, где sinhx - гиперболический синус в ангийской версии. |
Интеграл, равный гиперболическому тангенсу. |
Интеграл, равный гиперболическому котангенсу. |
Интеграл, равный гиперболическому секансу. |
Интеграл, равный гиперболическому косекансу. |
Формулы интегрирования по частям. Правила интегрирования.
Формулы интегрирования по частям. Формула Ньютона-Лейбница.Правила интегрирования. |
|
Интегрирование произведения (функции) на постоянную: |
|
Интегрирование суммы функций: |
|
неопределенные интегралы: |
|
Формула интегрирования по частям определенные интегралы: |
|
Формула Ньютона-Лейбница определенные интегралы: |
Где F(a),F(b)-значения первообразных в точках b и a соответственно. |
Таблица производных. Табличные производные. Производная произведения. Производная частного. Производная сложной функции.
Если x - независимая переменная, то:
Таблица производных. Табличные производные."таблица производный"-да, к сожалению, именно так их и ищут в интернете |
|
Производная степенной функции |
|
Производная экспоненты |
|
Производная сложной экспоненциальной функции |
Производная экспоненциальной функции |
Производная логарифмической функции |
Производная натурального логарифма |
Производная натурального логарифма функции |
|
Производная синуса |
Производная косинуса |
Производная косеканса |
Производная секанса |
Производная арксинуса |
Производная арккосинуса |
Производная арксинуса |
Производная арккосинуса |
Производная тангенса |
Производная котангенса |
Производная арктангенса |
Производная арккотангенса |
Производная арктангенса |
Производная арккотангенса |
Производная арксеканса |
Производная арккосеканса |
Производная арксеканса |
Производная арккосеканса |
Производная гиперболического синуса Производная гиперболического синуса в английской версии |
Производная гиперболического косинуса Производная гиперболического косинуса в английской версии |
Производная гиперболического тангенса |
Производная гиперболического котангенса |
Производная гиперболического секанса |
Производная гиперболического косеканса |
Правила дифференцирования. Производная произведения. Производная частного. Производная сложной функции. |
|
Производная произведения (функции) на постоянную: |
|
Производная суммы (функций): |
|
Производная произведения (функций): |
|
Производная частного (функций): |
|
Производная сложной функции: |
Свойства логарифмов. Основные формулы логарифмов. Десятичные (lg) и натуральные логарифмы (ln).
Основное логарифмическое тождество |
|
Покажем как можно любую функцию вида a b сделать экспоненциальной. Поскольку функция вида е х называется экспоненциальной, то |
|
Любая функция вида a b может быть представлена в виде степени десяти |
Натуральный логарифм ln (логарифм по основанию е = 2,718281828459045…) ln(e)=1; ln(1)=0
Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.
Оказывается, большинство практически встречающихся математических функций могут быть с любой точностью представлены в окрестностях некоторой точки в виде степенных рядов, содержащих степени переменной в порядке возрастания. Например, в окрестности точки х=1:
При использовании рядов, называемых рядами Тейлора, смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций. С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.
Ряд Тейлора в окрестности точки a имеет виды:
1)
,
где f(x) - функция, имеющая при х=а производные
всех порядков. R n
- остаточный член в ряде Тейлора
определяется выражением
2)
k-тый коэффициент (при х k) ряда определяется формулой
3) Частным случаем ряда Тейлора является ряд Маклорена (=Макларена) (разложение происходит вокруг точки а=0)
при a=0
члены ряда определяются по формуле
Условия применения рядов Тейлора.
1. Для того, чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Тейлора на интервале (-R;R) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Тейлора (Маклорена (=Макларена)) для данной функции стремился к нулю при k→∞ на указанном интервале (-R;R).
2. Необходимо чтобы существовали производные для данной функции в точке, в окрестности которой мы собираемся строить ряд Тейлора.
Свойства рядов Тейлора.
Если f есть аналитическая функция, то ее ряд Тейлора в любой точке а области определения f сходится к f в некоторой окрестности а.
Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности а. Например:
Ряды Тейлора применяются при аппроксимации (приближение - научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми) функции многочленами. В частности, линеаризация ((от linearis - линейный), один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной.) уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.
Таким образом, практически любую функцию можно представить в виде полинома с заданной точностью.
Примеры некоторых распространенных разложений степенных функций в ряды Маклорена (=Макларена,Тейлора в окрестностях точки 0) и Тейлора в окрестностях точки 1. Первые члены разложений основных функций в ряды Тейлора и Макларена.
Примеры некоторых распространенных разложений степенных функций в ряды Маклорена(=Макларена, Тейлора в окрестностях точки 0)
Примеры некоторых распространенных разложений в ряды Тейлора в окрестностях точки 1
Первообразная и интеграл
1. Первообразная. Функция F(х) называется первообразной для функции f (х) на промежутке X, если для любого х из Х выполняется равенство F"(x)=f(x)
Т.7.13 (Если F(х)-первообразная для функции f(х) на промежутке X, то у функции f(x) бесконечно много первообразных, и все эти первообразные имеют вид F (x)+С, где С - произвольная постоянная (основное свойство первообразной).
2. Таблица первообразных. Учитывая, что отыскание первообразной есть операция, обратная дифференцированию, и отталкиваясь от таблицы производных, получаем следующую таблицу первообразных (для простоты в таблице приведена одна первообразная F(х), а не общий вид первообразных F(х) + С:
Первообразная |
Первообразная |
||
Первообразная и логарифмическая функция
Логарифмическая функция, функция, обратная к показательной функции. Л. ф. обозначается
её значение y, соответствующее значению аргумента х, называется натуральным логарифмом числа х. В силу определения соотношение (1) равносильно
(е - неперово число). Т. к. ey > 0 при любом действительном у, то Л. ф. определена только при х > 0. В более общем смысле Л. ф. называют функцию
первообразный степень интеграл логарифм
где а > 0 (а? 1) - произвольное основание логарифмов. Однако в математическом анализе особое значение имеет функция InX; функция logaX приводится к ней по формуле:
где М = 1/In а. Л. ф. - одна из основных элементарных функций; её график (рис. 1) носит название логарифмики. Основные свойства Л. ф. вытекают из соответствующих свойств показательной функции и логарифмов; например, Л. ф. удовлетворяет функциональному уравнению
Для - 1 < х, 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:
Многие интегралы выражаются через Л. ф.; например
Л. ф. постоянно встречается в математическом анализе и его приложениях.
Л. ф. была хорошо известна математикам 17 в. Впервые зависимость между переменными величинами, выражаемая Л. ф., рассматривалась Дж. Непером (1614). Он представил зависимость между числами и их логарифмами с помощью двух точек, движущихся по параллельным прямым (рис. 2). Одна из них (У) движется равномерно, исходя из С, а другая (X), начиная движение из А, перемещается со скоростью, пропорциональной её расстоянию до В. Если положить СУ = у, ХВ = х, то, согласно этому определению,
dx/dy = - kx, откуда.
Л. ф. на комплексной плоскости является многозначной (бесконечнозначной) функцией, определённой при всех значениях аргумента z ? 0 обозначается Lnz. Однозначная ветвь этой функции, определяемая как
Inz = In?z?+ i arg z,
где arg z - аргумент комплексного числа z, носит название главного значения Л. ф. Имеем
Lnz = lnz + 2kpi, k = 0, ±1, ±2, ...
Все значения Л. ф. для отрицательных: действительных z являются комплексными числами. Первая удовлетворительная теория Л. ф. в комплексной плоскости была дана Л. Эйлером (1749), который исходил из определения
Интегралы от логарифмов
Интегрирование по частям. Примеры решений
Решение.
К примеру.
Вычислить интеграл:
Применяя свойства интеграла (линейность), ᴛ.ᴇ. , сводим ктабличному интегралу, получаем, что
И снова, здравствуйте. Сегодня на уроке мы научимся интегрировать по частям. Метод интегрирования по частям - ϶ᴛᴏ один из краеугольных камней интегрального расчёта. На зачете, экзамене студенту почти всегда предлагают решить интегралы следующих типов: простейший интеграл (см. статью Неопределенный интеграл. Примеры решений ) либо интеграл на замену переменной (см. статью Метод замены переменной в неопределенном интеграле ) либо интеграл как раз на метод интегрирования по частям .
Как всегда, под рукой должны быть: Таблица интегралов и Таблица производных . В случае если у Вас до сих пор их нет, то, пожалуйста͵ посетите кладовку моего сайта: Математические формулы и таблицы . Не устану повторять – лучше всё распечатать. Весь материал я постараюсь изложить последовательно, просто и доступно, в интегрировании по частям нет особых трудностей.
Какую задачу решает метод интегрирования по частям? Метод интегрирования по частям решает очень важную задачу, он позволяет интегрировать некоторые функции, отсутствующие в таблице, произведение функций, а в ряде случаев – и частное. Как мы помним, нет удобной формулы: . Зато есть такая: – формула интегрирования по частям собственной персоной. Знаю, знаю, ты одна такая – с ней мы и будем работать весь урок (уже легче).
И сразу список в студию. По частям берутся интегралы следующих видов:
1) , – логарифм, логарифм, умноженный на какой-нибудь многочлен.
2) , – экспоненциальная функция, умноженная на какой-нибудь многочлен. Сюда же можно отнести интегралы вроде – показательная функция, умноженная на многочлен, но на практике процентах так в 97, под интегралом красуется симпатичная буква ʼʼеʼʼ. … что-то лирической получается статья, ах да… весна же пришла.
3) , – тригонометрические функции, умноженные на какой-нибудь многочлен.
4) , – обратные тригонометрические функции (ʼʼаркиʼʼ), ʼʼаркиʼʼ, умноженные на какой-нибудь многочлен.
Также по частям берутся некоторые дроби, соответствующие примеры мы тоже подробно рассмотрим.
Пример 1
Найти неопределенный интеграл.
Классика. Время от времени данный интеграл можно встретить в таблицах, но пользоваться готовым ответом нежелательно, так как у преподавателя весенний авитаминоз и он сильно заругается. Потому что рассматриваемый интеграл отнюдь не табличный – он берётся по частям. Решаем:
Прерываем решение на промежуточные объяснения.
Используем формулу интегрирования по частям:
Интегралы от логарифмов - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Интегралы от логарифмов" 2017, 2018.