Види кутів градусною мірою. Які є кути? Вимірювання кутів транспортиром

Почнемо з визначення того, що таке кут. По-перше, він є По-друге, він утворений двома променями, які називаються сторонами кута. По-третє, останні виходять із однієї точки, яку називають вершиною кута. Виходячи з цих ознак ми можемо скласти визначення: кут - геометрична фігура, Що складається з двох променів (сторон), що виходять з однієї точки (вершини).

Їх класифікують за градусною величиною, за розташуванням щодо один одного і щодо кола. Почнемо з видів кутів за величиною.

Існує кілька їх різновидів. Розглянемо докладніше кожен вид.

Основних типів кутів всього чотири - прямий, тупий, гострий та розгорнутий кут.

Прямий

Він виглядає так:

Його градусна міра завжди становить 90 градусів, інакше кажучи, прямий кут - це кут 90 градусів. Тільки вони мають такі чотирикутники, як квадрат і прямокутник.

Тупий

Він має такий вигляд:

Градусний захід завжди більше 90 про, але менше 180 про. Він може зустрічатися у таких чотирикутниках, як ромб, довільний паралелограм, у багатокутниках.

Гострий

Він виглядає так:

Градусний захід гострого кута завжди менше 90 о. Він зустрічається у всіх чотирикутниках, крім квадрата та довільного паралелограма.

Розгорнутий

Розгорнутий кут має такий вигляд:

У багатокутниках він не зустрічається, але не менш важливий, ніж решта. Розгорнутий кут - це геометрична фігура, градусна міра якої завжди дорівнює 180 º. На ньому можна побудувати, провівши з його вершини один або кілька променів у будь-яких напрямках.

Є ще кілька другорядних видів кутів. Їх не вивчають у школах, але знати хоча б про їхнє існування необхідно. Другорядних видів кутів всього п'ять:

1. Нульовий

Він виглядає так:

Сама назва кута вже говорить про його величину. Його внутрішня областьдорівнює 0о, а сторони лежать одна на одній так, як показано на малюнку.

2. Косий

Косим може бути і прямий, і тупий, і гострий і розгорнутий кут. Головна його умова - він не повинен дорівнювати 0, 90 про, 180 про, 270 про.

3. Випуклий

Випуклими є нульовий, прямий, тупий, гострий та розгорнутий кути. Як ви вже зрозуміли, градусний захід опуклого кута - від 0 до 180 о.

4. Неопуклий

Невипуклими є кути з градусною мірою від 181 до 359 про включно.

5. Повний

Повним є кут із градусною мірою 360 о.

Це всі типи кутів за їх величиною. Тепер розглянемо їх види розташування на площині щодо одне одного.

1. Додаткові

Це два гострі кути, що утворюють один прямий, тобто. їхня сума 90 о.

2. Суміжні

Суміжні кути утворюються, якщо через розгорнутий, точніше, через його вершину провести промінь у будь-якому напрямку. Їхня сума дорівнює 180 о.

3. Вертикальні

Вертикальні кути утворюються при перетині двох прямих. Їхні градусні заходи рівні.

Тепер перейдемо до видів кутів, які розташовані щодо кола. Їх лише два: центральний та вписаний.

1. Центральний

Центральним є кут із вершиною в центрі кола. Його градусна міра дорівнює градусній мірі меншої дуги, стягнутої сторонами.

2. Вписаний

Вписаним називається кут, вершина якого лежить на колі, і сторони якого його перетинають. Його градусна міра дорівнює половині дуги, яку він спирається.

Це все, що стосується кутів. Тепер ви знаєте, що крім найвідоміших - гострого, тупого, прямого і розгорнутого - у геометрії існує багато інших видів.

Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішної здачі ЄДІз математики на 60-65 балів. Цілком всі завдання 1-13 Профільного ЄДІз математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.

Уся необхідна теорія. Швидкі способирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База на вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.

З поняттям кут учні знайомляться ще в початковій школі. Але як геометричну фігуру, що має певні властивості, починають вивчати його з 7-го класу геометрії. Здається, досить проста фігура , Що про неї можна сказати. Але, набуваючи нових знань, школярі все більше розуміють, що можна дізнатися про неї досить цікаві факти.

Вконтакте

Коли вивчаються

Шкільний курс геометрії поділено на два розділи: планіметрію та стереометрію. У кожному з них чимала увага приділяється кутам:

• У планіметрії дається їхнє основне поняття, відбувається знайомство з їхніми видами за величиною. Докладніше вивчаються властивості кожного виду трикутників. З'являються нові визначення для учнів – це геометричні фігури, утворені при перетині двох прямих між собою та перетині кількох прямих січні.
• У стереометрії вивчаються просторові кути – двогранні та тригранні.

Увага!У цій статті розглядаються всі види та властивості кутів саме у планіметрії.

Визначення та вимір

Приступаючи до вивчення, спочатку визначають, що таке куту планіметрії.

Якщо на площині взяти певну точку та провести від неї два довільні промені, то отримаємо геометричну фігуру – кут, що складається з наступних елементів:

• вершина - та точка, з якої і проводилися промені, позначається великою літерою латинського алфавіту;
• сторони - напівпрямі, проведені з вершини.

Всі елементи, що утворюють фігуру, що розглядається нами, розбивають площину на дві частини:

• внутрішня – у планіметрії не перевищує 180 градусів;
• зовнішня.

Принцип вимірювання кутів у планіметріїпояснюють на інтуїтивній основі. Спочатку знайомлять учнів з поняттям розгорнутий кут.

Важливо!Кут називається розгорнутим, якщо напівпрямі, що виходять із його вершини, утворюють пряму лінію. Нерозгорнутий кут це решта випадків.

Якщо його розділити на 180 рівних частин, то прийнято вважати міру однієї частини, що дорівнює 10. У такому випадку говорять, що вимір проводиться в градусах, а градусний захід такої фігури становить 180 градусів.

Основні види

Види кутів поділяються за такими критеріями, як градусний захід, характер їх утворення та подані нижче категорії.

За величиною

Враховуючи величину, кути поділяють на:

• розгорнутий;
• прямий;
• тупий;
• гострий.

Який кут називається розгорнутим, було представлено вище. Визначимося з поняттям прямого.

Його можна отримати при розподілі розгорнутого на дві рівні частини. В цьому випадку легко відповісти на запитання: прямий кут, скільки градусів становить?

180 градусів розгорнутого ділимо на 2 і отримуємо, що прямий кут дорівнює 90 градусам. Це чудова постать, оскільки багато фактів у геометрії пов'язані саме з нею.

Має вона і свої особливості у позначенні. Щоб малюнку показати прямий кут, його позначають не дугою, а квадратиком.

Кути, які виходять при розподілі довільним променем прямого, називають гострими.За логікою речей слід, що гострий кут менше прямого, але його міра відмінна від 0 градусів. Тобто він має величину від 0 до 90 градусів.

Тупий кут більше прямого, але менше розгорнутого. Його градусний захід варіюється в інтервалі від 90 до 180 градусів.

Цей елемент можна розбити на різні видианалізованих фігур, крім розгорнутий.

Незалежно від того, як розбивається нерозгорнутий кут, завжди користуються базовою аксіомою планіметрії – «основна властивість виміру».

При розділення кута одним променемабо кількома, градусна міра даної фігури дорівнює сумі заходів кутів, на які вона розбита.

На рівні 7-го класу види кутів за їх величиною у цьому закінчуються. Але для підвищення ерудиції можна додати, що існують і інші різновиди, які мають градусний захід більше 180 градусів. Їх називають опуклими.

Фігури при перетині прямих

Наступні типи кутів, із якими знайомляться учні – елементи, утворені під час перетину двох прямих. Фігури, які розміщуються один навпроти одного, називають вертикальними. Їхня відмінна властивість – вони рівні.

Елементи, які прилягають до однієї і тієї ж прямої, називають суміжними. Теорема, що відображає їхню властивість, говорить про те, що суміжні кути в сумі дають 180 градусів.

Елементи у трикутнику

Якщо розглядати фігуру як елемент у трикутнику, то кути поділяють на внутрішній та зовнішній. Трикутник обмежений трьома відрізками і складається із трьох вершин. Кути, розташовані всередині трикутника при кожній вершині, називають внутрішніми.

Якщо взяти будь-який внутрішній елемент за будь-якої вершини і продовжити будь-яку сторону, то кут, який утворився і є суміжним із внутрішнім, називається зовнішнім. Ця пара елементів має таку властивість: їхня сума дорівнює 180 градусам.

Перетин двох прямих січній

Перетин прямих

При перетині двох прямих січної також утворюються кути, які прийнято розподіляти за парами. Кожна пара елементів має свою назву. Виглядає це так:

• внутрішні навхрест лежать: ∟4 і ∟6, ∟3 і ∟5;
• внутрішні односторонні: ∟4 та ∟5, ∟3 та ∟6;
• відповідні: ∟1 та ∟5, ∟2 та ∟6, ∟4 та ∟8, ∟3 та ∟7.

У тому випадку, коли січна перетинає дві прямі, всі ці пари кутів мають певні властивості:

1. Внутрішні навхрест лежачі та відповідні фігури між собою рівні.
2. Внутрішні односторонні елементи дають 180 градусів.

Вивчаємо кути в геометрії, їх властивості

Види кутів у математиці

Висновок

У цій статті представлені всі основні види кутів, які зустрічаються у планіметрії та вивчаються у сьомому класі. У всіх наступних курсах характеристики, що стосуються всіх розглянутих елементів, є основою для подальшого вивчення геометрії. Наприклад, вивчаючи , потрібно буде згадати всі характеристики кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною. При вивченні особливостей трикутників необхідно згадати, що таке суміжні кути. Перейшовши в стереометрію, всі об'ємні фігури вивчатимуть і будуватимуть, спираючись на планиметричні фігури.

У цій статті розглядатиметься одна з основних геометричних фігур – кут. Після загального введення в це поняття ми приділимо основну увагу окремого виглядутакої постаті. Розгорнутий кут – важливе поняття геометрії, яке і буде основною темою цієї статті.

Введення у поняття геометричного кута

У геометрії існує низка об'єктів, які становлять основу всієї науки. Кут саме ставитися до них і визначається за допомогою поняття променя, тому почнемо саме з нього.

Також перед тим, як приступати до визначення самого кута, треба згадати про кілька не менш важливих об'єктів у геометрії - це точка, пряма на площині і сама площина. Прямою називають найпростішу геометричну фігуру, яка не має ні початку, ні кінця. Площиною – поверхня, яка має два виміри. Ну і промінь (або напівпряма) в геометрії - це частина прямої, у якої є початок, але немає кінця.

Використовуючи дані поняття, можемо скласти твердження, що кутом є геометрична фігура, яка повністю лежить в деякій площині і складається з двох променів, що не збігаються, із загальним початком. Такі промені називаються сторонами кута, а загальний початок сторін – це його вершина.

Види кутів та геометрії

Ми знаємо про те, що кути можуть бути зовсім різними. А тому трохи нижче буде наведено невелику класифікацію, яка допоможе краще розібратися у видах кутів та їх головних особливостях. Отже, існує кілька видів кутів у геометрії:

1. Прямий кут. Він характеризується величиною 90 градусів, отже, його боку завжди перпендикулярні між собою.
2. Гострий кут. До таких кутів відносяться всі їхні представники, які мають розмір менше 90 градусів.
3. Тупий кут. Тут можуть бути всі кути з величиною від 90 до 180 градусів.
4. Розгорнутий кут. Має розмір 180 градусів і зовні його сторони становлять одну пряму.

Поняття розгорнутого кута

Тепер давайте розглянемо розгорнутий кут докладніше. Це той випадок, коли обидві сторони лежать на одній прямій, що можна чітко побачити на малюнку трохи нижче. Отже, ми можемо з упевненістю сказати, що у розгорнутого кута одна з його сторін, по суті, є продовженням іншої.

Варто запам'ятати той факт, що такий кут завжди можна розділити за допомогою променя, що виходить із його вершини. В результаті ми отримаємо два кути, які в геометрії називаються суміжними.

Також розгорнутий кут має кілька особливостей. Для того, щоб розповісти про першу з них, треба згадати поняття «бісектриса кута». Нагадаємо, що це промінь, який ділить будь-який кут строго навпіл. Що стосується розгорнутого кута, то його бісектриса поділяє його таким чином, що утворюється два прямі кути по 90 градусів. Це дуже легко прорахувати математично: 180? (градус розгорнутого кута): 2 = 90?.

Якщо ж розділяти розгорнутий кут зовсім довільним променем, то в результаті ми завжди отримуємо два кути, один з яких буде гострим, а інший тупим.

Властивості розгорнутих кутів

Зручно розглядатиме цей кут, зібравши воєдино всі його головні властивості, що ми і зробили в даному списку:

1. Сторони розгорнутого кута антипаралельні та становлять пряму.
2. Розмір розгорнутого кута завжди становить 180˚.
3. Два суміжні кути разом завжди становлять розгорнутий кут.
4. Повний кут, який становить 360˚, складається з двох розгорнутих і дорівнює їх сумі.
5. Половина розгорнутого кута – це прямий кут.

Отже, знаючи ці характеристики цього виду кутів, ми можемо використовувати їх на вирішення низки геометричних завдань.

Завдання з розгорнутими кутами

Щоб зрозуміти, чи засвоїли ви поняття розгорнутого кута, спробуйте відповісти на кілька наступних питань.

1. Чому дорівнює розгорнутий кут, якщо його сторони становлять вертикальну пряму?
2. Чи будуть два кути суміжними, якщо величина першого 72?, а іншого - 118?
3. Якщо повний кут складається з двох розгорнутих, скільки в ньому прямих кутів?
4. Розгорнутий кут розділили променем на два такі кути, що їх градусні заходи відносяться як 1:4. Обчисліть отримані кути.

Рішення та відповіді:

1. Як би не був розташований розгорнутий кут, він завжди за визначенням дорівнює 180?
2. Сумежні кути мають одну спільну сторону. Тому, щоб обчислити розмір кута, який вони становлю разом, потрібно просто додати значення їх градусних заходів. Отже, 72 +118 = 190. Але за визначенням розгорнутий кут становить 180˚, отже, два даних кута неможливо знайти суміжними.
3. Розгорнутий кут вміщує два прямі кути. Оскільки в повному є два розгорнутих, отже, прямих у ньому буде 4.
4. Якщо ми назвемо шукані кути а і b, то нехай х - це коефіцієнт пропорційності для них, а це означає, що а = х і відповідно b = 4х. Розгорнутий кут у градусах дорівнює 180˚. І згідно зі своїми властивостями, що градусний захід кута завжди дорівнює сумі градусних мір тих кутів, на які він розбивається будь-яким довільним променем, що проходить між його сторонами, можемо зробити висновок, що х + 4х = 180˚, а значить, 5х = 180˚. Звідси знаходимо: х = а = 36 і b = 4х = 144?. Відповідь: 36˚ і 144˚.

Якщо у вас вдалося відповісти на всі ці запитання без підказок і не підглядаючи у відповіді, ви готові переходити до наступного уроку з геометрії.

Вимірювання кутів зводиться до вимірювання відповідних їм дуг в такий спосіб. За одиницю кутів приймають кут, що становить 1/90 прямого кута. Цю одиницю називають кутовим градусом .

За одиницю дуг однакового радіуса приймають таку дугу того ж радіуса, яка відповідає центральному куту, що дорівнює кутовому градусу. Така дуга називається дуговим градусом.

Оскільки прямому центральному куту відповідає 1/4 кола, то кутовому градусу відповідає 1/90 чверті кола. Значить, дуговий градус становить 1/360 цілого кола.

Нехай потрібно виміряти кут AOB, тобто знайти відношення цього кута до кутового градусу MNP. Для цього опишемо з вершин кутів дуги СD і EF довільним, однаковим радіусом.

Тоді матимемо:

Ліве відношення цієї пропорції - число, що вимірює кут AOB у кутових градусах. Правове відношення - число, що вимірює дугу СD у дугових градусах.

Отже, цю пропорцію можна так: число, що вимірює кут у кутових градусах, дорівнює числу, що вимірює відповідну дугу в дугових градусах.

Для стислості цю фразу висловлюють зазвичай так: Кут вимірюється відповідною дугою.

Градуси кута чи дуги поділяються на 60 рівних частин, званих хвилинами(кутовими чи дуговими).

Хвилину поділяють на 60 рівних частин, званих секундами(кутовими чи дуговими).

Зі сказаного вище випливає, що у куті міститься стільки кутових градусів, хвилин і секунд, скільки у відповідній йому дузі полягає дугових градусів, хвилин і секунд.

Якщо, наприклад, у дузі CD міститься 40 град. 25 хв. та 13,5 секунди (дугових), то і в куті AOB полягає 40 град. 25 хв. 13,5 сек. (кутових). Це висловлюють скорочено так:

∠AOB = 40°25' 13,5'',

позначаючи значками (°), ('), ('') відповідно градуси, хвилини та секунди.

Оскільки прямий кут містить 90°, то:

1. сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180°;

2. сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90 °;

3. кожен кут рівностороннього трикутника дорівнює 60 °;

4. сума кутів опуклого багатокутника, що має n сторін, дорівнює 180 ° (n - 2).

Транспортир -це прилад, що використовується для вимірювання кутів, є півколом, дуга якого розділена на 180 градусів.

Щоб виміряти кут AOB, накладають на нього прилад так, щоб центр півкола збігся з вершиною кута, а радіусом OM збігся зі стороною AO. Тоді число градусів, що міститься в дузі PN покаже величину кута AOB. За допомогою транспортира можна накреслити кут, що містить дане число градусів.

Звичайно, на такому приладі немає можливості відраховувати не лише секунди, а й хвилини. Вимірювання та побудова можна виконати лише приблизно.